📂수리통계학

확률 밀도 함수의 컨볼루션 공식

공식 ¹

독립인 두 연속확률변수 $X, Y$ 의 확률밀도함수가 $f_{X}, f_{Y}$ 로 주어져 있다고 하자. 그러면 $Z := X + Y$ 의 확률밀도함수는 두 확률밀도함수의 합성곱 $f_{Z} = f_{X} \ast f_{Y}$ 이다. $$ f_{Z} (z) = \left( f_{X} \ast f_{Y} \right) (z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X} (w) f_{Y} (z-w) dw $$

증명

간단한 유도

$W := X$ 라 하면 자코비안은 $$ \begin{Vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{Vmatrix} = \left| -1 \right| = 1 $$ 이고, $Z$ 와 $W$ 의 조인트 확률밀도함수 $f_{Z,W}$ 는 $$ f_{Z,W} \left( z,w \right) = f_{X,Y} \left( w, z-w \right) = f_{X} (w) f_{Y} (z-w) $$ 이다. 따라서 $Z$ 의 마지널 확률밀도함수는 $-\infty < w < \infty$ 에서의 정적분으로써 다음과 같이 구해진다. $$ f_{Z} (z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X} (w) f_{Y} (z-w) |1| dw $$

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누적분포함수를 이용한 증명

$Z$의 누적분포함수는 다음과 같다.

$$ F_{Z}(z) = P(Z \le z) = P(X+Y \le z) $$

확률은 확률밀도합수의 적분이고, $X$와 $Y$가 독립이라 가정했으므로 다음을 얻는다.

$$ F_{Z}(z) = \iint\limits_{x+y \le z} f_{X,Y}(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \iint\limits_{x+y \le z} f_{X}(x) f_{Y}(y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y $$

적분 범위를 각 변수에 대해서 분리하면,

$$ \begin{align*} F_{Z}(z) &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{z-x} f_{X}(x) f_{Y}(y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) \left( \int\limits_{-\infty}^{z-x} f_{Y}(y) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x \\ \end{align*} $$

괄호안의 값은 $Y$의 누적분포함수이므로,

$$ F_{Z}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) F_{Y}(z-x) \mathrm{d}x $$

이제 양변을 $z$로 미분하면 결론을 얻는다.

$$ \begin{align*} f_{Z}(z) = \dfrac{\mathrm{d} F_{Z}(z)}{\mathrm{d}z} &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) \dfrac{\partial F_{Y}(z - x)}{\partial z} \mathrm{d}x \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) f_{Y}(z-x) \mathrm{d}x \\ &= f_{X} \ast f_{Y} (z) \end{align*} $$

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특성함수를 이용한 증명

확률변수 $X$의 특성함수를 $\Phi_{X}$라 표기하자. $Z$의 특성함수는 다음과 같이 계산된다.

$$ \Phi_{Z}(t) = \mathbb{E}\left[ e^{\mathrm{i} t (X+Y)} \right] = \mathbb{E}\left[ e^{\mathrm{i}tX} e^{\mathrm{i}tY} \right] = \mathbb{E}\left[ e^{\mathrm{i}tX} \right] \mathbb{E}\left[ e^{\mathrm{i}tY} \right] = \Phi_{X}(t) \Phi_{Y}(t) $$

세번째 등호는 $X$와 $Y$가 독립이라 성립한다.

푸리에 역변환 정리

$\hat{f} = \hat{g}$이면, $f = g$이다.

푸리에 변환의 성질

$$ \widehat{f \ast g} = \hat{f} \cdot \hat{g} $$

특성함수는 푸리에변환이므로, 위의 보조정리들에 의해 다음을 얻는다.

$$ \widehat{f_{Z}} = \Phi_{Z} = \Phi_{X} \Phi_{Y} = \widehat{f_{X}} \cdot \widehat{f_{Y}} = \widehat{f_{X} \ast f_{Y}} $$

$$ \implies f_{Z} = f_{X} \ast f_{Y} $$

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