📂확률론

프랙탈 브라운 운동

정의

$E \left( X_{t} \right) = 0$ 인 $X_{t}$ 가 가우시안 프로세스고 $H \in (0, 1)$ 이라 하자. 프랙셔널 브라우니안 모션^{fractional Brownian motion}은 다음과 같이 두가지 방법으로 정의될 수 있다.

공분산을 통한 정의 ¹

$X_{t}$ 의 $t, s$ 시점에서의 공분산이 다음과 같으면 프랙탈 브라운 운동이라 한다. $$ \text{Cov} \left( X_{t}, X_{s} \right) = {{ 1 } \over { 2 }} \left( t^{2H} + s^{2H} - \left| t-s \right|^{2H} \right) $$

조건을 통한 정의 ²

$X_{t}$ 가 다음 두 조건을 만족하면 프랙탈 브라운 운동이라 한다.

• (i): 스테이셔너리 인크리먼트를 갖는다.
• (ii): 허스트 인덱스 $H$ 에 대해 $H$-자기유사하다.

설명

프랙셔널^fractional이라는 명명은 정의에 언급된 자기유사성을 생각해봤을때 분수^fractional의 의미보다는 프랙탈^fractal에서 유래한 것으로 보는 게 더 적절하기 때문에 프랙탈 브라운 운동으로 순화했다.

$H = 1/2$ 일 때는 정확히 브라우니안 모션이다. 다시 말해, FBM은 완벽하게 표준 BM의 일반화다.