📂확률론

확률과정의 자기유사성과 허스트 인덱스

정의 ^{1 2}

확률과정 $\left\{ X_{t} \right\}$ 이 모든 $a > 0$ 에 대해 다음을 만족하면 $H$-자기유사^{$H$-self-similar}하다고 한다. $$ X_{at} \overset{D}{=} a^{H} X_{t} $$ 여기서 $\overset{D}{=}$ 은 분포가 같음을 의미하며, 파라미터 $H>0$ 을 허스트 인덱스^{hurst Index}라 부른다.

예시

브라운 모션 $W_{t}$ 을 생각해보면 $W_{t} \sim N(0,t)$ 이다. 예로써 정규분포 $N(0,1)$ 를 따르는 확률변수 $Z$ 에 대해 $a Z \sim N \left( 0, a^{2} 1 \right)$ 이듯, 분산에 곱해진 양수는 밖으로 나오면서 제곱근을 취하게 된다. 따라서 $$ W_{at} \overset{D}{=} \sqrt{a} W_{t} = a^{1/2} W_{t} $$ 이고, 브라운 모션은 $1/2$-자기유사성을 가진다고 말할 수 있다.