📂확률론

기하 브라운 운동

정의 ¹

$\mu \in \mathbb{R}$ 과 $\sigma^{2} > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률미분방정식이 주어져 있다고 하자. $$ d X_{t} = X_{t} \left( \mu dt + \sigma d B_{t} \right) $$ 이 SDE의 솔루션은 초기값 $X_{0}$ 에 대해 다음과 같은 확률과정으로 구해지며, 이를 기하 브라운 운동^{geometric Brownian motion}이라 한다. $$ X_{t} = X_{0} \exp \left[ \left( \mu - {{ \sigma^{2} } \over { 2 }} \right) t + \sigma B_{t} \right] $$

설명

지오메트릭 브라우니안 모션^gBM은 금융, 경제 분야에서 지수의 추세를 설명하는 기본적인 모델로 유명하다. 기하^geometric라는 표현은 지수적인 등비수열의 합인 기하급수^{geometric Series}에서 나온 것 같고, 기하학과는 별 관계가 없다.

로그-정규분포

응용을 배제하고 담백하게 수학적인 성질만 생각해보았을 때 GBM의 가장 큰 특징은 로그를 취했을 때 정규분포를 따른다는 것―다시 말해 로그-정규분포을 따른다는 것이다. 수식적으로 보면 $\exp$ 에 정규분포를 따르는 브라우니안 모션이 들어가 있으니 당연한 일이다.

동역학

인구 동역학^{population dynamics}의 관점에서 GBM으로 표현된 시스템은 멜서스 성장 모델 $N ' = r N$ 에 노이즈 텀 $X_{t} \sigma d B_{t}$ 이 추가되었을 뿐이다. 사실 GBM을 정의할 때 꼭 확률미분방정식의 해로써 정의될 필요는 없지만, 이렇게 결정론적^{deterministic} 상미분방정식으로 알려진 성질을 바로 알 수 있어 이해하는데에 큰 도움이 된다.

금융 공학

GBM의 대표적인 응용은 바로 주가와 같은 기초자산의 가격 변동을 설명하는 것이다. 인구수의 변동량이 전체 인구수에 비례하듯 자산의 가격 변동 역시 자산의 가격에 비례하고 상장폐지를 당하지 않는 이상 음수가 될 수 없는 등 좋은 가정을 많이 가지고 있다.

어떤 주식의 가격 $p_{t}$ 가 GBM을 따른다고 가정하자. $t$일째 종가를 $t-1$일째의 종가로 나누고 로그를 취한 $$ r_{t} = \nabla \log p_{t} = \log {{ p_{t} } \over { p_{t-1} }} $$ 을 수익률―리턴^return이라 하는데, 주가의 크기에 상관없이 가격이 올랐으면 양수, 떨어졌으면 음수로 우리의 직관과 일치한다. 로그-정규분포 단락에서 설명한대로 이 리턴은 정규분포를 따르며, 단순한 등락이 아니라 주가의 성장과 역성장 그 본질에 관심을 두는 것으로 볼 수 있다.