📂확률미분방정식

밀슈타인 메소드 유도

메소드 ¹

$$d X(t) = f \left( X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in [t_{0}, T]$$ 이토 프로세스가 위와 같은 자율 확률미분방정식의 솔루션으로써 주어져 있다고 하자. 간격이 $h$ 으로 일정한 등간격시점 $\left\{ t_{i} \le T : t_{i+1} = t_{i} + h \right\}_{i=0}^{N}$ 에 대해서 다음과 같이 계산되는 $Y_{i} := Y \left( t_{i} \right)$ 는 주어진 미분방정식의 수치적 해다. $$Y_{i+1} = Y_{i} + f \left( Y_{i} \right) h + g \left( Y_{i} \right) \sqrt{h} Z + {{ 1 } \over { 2 }} g \left( Y_{i} \right) {{ d g \left( Y_{i} \right) } \over { d y }} h \left( Z^{2} - 1 \right)$$ 여기서 $Z$ 는 표준정규분포를 따르는 확률변수다.

수렴성

이 솔루션은 강하게 $\gamma = 1$차 수렴하고, 약하게 $\beta = 1$차 수렴한다.

설명

밀슈타인 이계 근사 스킴^{milstein 2nd-order Approximation Scheme} 은 오일러-마루야마 스킴에 이계보정항^{2nd-order correction term}을 넣어 정확도를 개선시킨 메소드다. 수식이 많이 복잡해보이는데, 인덱스가 많아서 그렇고 조금 생략하면 다음과 같이 깔끔하게 적을 수 있다. $$X_{t + h} = X_{t} + f_{t} h + g_{t} \sqrt{h} Z + {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t}’ h \left( Z^{2} - 1 \right)$$

유도

$$\begin{align*} f_{t} &:= f \left( X_{t} \right) \\ g_{t} &:= g \left( X_{t} \right) \end{align*}$$ 편의상 위와 같이 두도록 하자. $f$ 와 $g$ 는 시간 $t$ 에 독립이므로 $df / dt = dg / dt = 0$ 이고, $f ' (x)$ 라 하면 $x$ 에 대한 $f$ 의 도함수를 나타내는 것이다.

이토 공식: 이토 프로세스 $\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 가 주어져 있다고 하자. $$d X_{t} = u dt + v d W_{t}$$ 함수 $V \left( t, X_{t} \right) = V \in C^{2} \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right)$ 에 대해 $Y_{t} := V \left( t, X_{t} \right)$ 라 두면 $\left\{ Y_{t} \right\}$ 역시 이토 프로세스고, 다음이 성립한다. $$\begin{align*} d Y_{t} =& V_{t} dt + V_{x} d X_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} \left( d X_{t} \right)^{2} \\ =& \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} \end{align*}$$

$$d X(t) = f \left( X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t}$$ 주어진 이토 프로세스에서 이토 공식을 사용해 $d f_{t}$ 을 계산해보자. $V = f$ 로 두면 이토 공식에 따라 $$\begin{align*} d f_{t} =& d f \left( X_{t} \right) \\ =& \left( {{ \partial f_{t} } \over { \partial t }} + {{ \partial f_{t} } \over { \partial x }} f_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} f_{t} } \over { \partial x^{2} }} g_{t}^{2} \right) dt + {{ \partial f_{t} } \over { \partial x }} g_{t} d W_{t} \\ =& \left( 0 + f_{t}’ f_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} f_{t}’’ g_{t}^{2} \right) dt + f_{t}’ g_{t} d W_{t} \end{align*}$$ 이고, 비슷하게 $V = g$ 로 두고 $d g_{t}$ 을 계산해보면 $$\begin{align*} d g_{t} =& g f \left( X_{t} \right) \\ =& \left( {{ \partial g_{t} } \over { \partial t }} + {{ \partial g_{t} } \over { \partial x }} f_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} g_{t} } \over { \partial x^{2} }} g_{t}^{2} \right) dt + {{ \partial g_{t} } \over { \partial x }} g_{t} d W_{t} \\ =& \left( 0 + g_{t}’ f_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} g_{t}’’ g_{t}^{2} \right) dt + g_{t}’ g_{t} d W_{t} \end{align*}$$ 이다. $t$ 부터 $s$ 까지의 적분꼴로 바꿔보면 $$\begin{align*} f_{s} =& f_{t} + \int_{t}^{s} \left( f_{u}’ f_{u} + {{ 1 } \over { 2 }} f_{u}’’ g_{u}^{2} \right) du + \int_{t}^{s} f_{u}’ g_{u} d W_{u} \\ g_{s} =& g_{t} + \int_{t}^{s} \left( g_{u}’ f_{u} + {{ 1 } \over { 2 }} g_{u}’’ g_{u}^{2} \right) du + \int_{t}^{s} g_{u}’ g_{u} d W_{u} \end{align*}$$ 이다. 이를 이토 프로세스의 적분꼴 $$X_{t+h} = X_{t} + \int_{t}^{t+h} f_{s} ds + \int_{t}^{t+h} g_{s} d W_{s}$$ 에 대입해보면 다음을 얻는다. $$\begin{align*} X_{t+h} =& X_{t} + \int_{t}^{t + h} \left[ f_{t} + {\color{Red} \int_{t}^{s} \left( f_{u}’ f_{u} + {{ 1 } \over { 2 }} f_{u}’’ g_{u}^{2} \right) du + \int_{t}^{s} f_{u}’ g_{u} d W_{u} } \right] ds \\ & + \int_{t}^{t + h} \left[ g_{t} + {\color{Red} \int_{t}^{s} \left( g_{u}’ f_{u} + {{ 1 } \over { 2 }} g_{u}’’ g_{u}^{2} \right) du} + \int_{t}^{s} g_{u}’ g_{u} d W_{u} \right] d W_{s} \end{align*}$$

이토 곱셈 테이블: $dt$ 와 $d W_{t}$ 의 곱은 다음과 같다. $$\begin{align*} \left( dt \right)^{2} =& 0 \\ dt d W_{t} =& 0 \\ d W_{t} dt =& 0 \\ \left( d W_{t} \right)^{2} =& dt \end{align*}$$

위에서 빨갛게 채색된 부분은 이토 곱셈 테이블에 따라 모두 $0$ 이 된다. 결과적으로 $f_{t}$ 와 $g_{t}$ 를 상수로 취급하는 텀과 적분자 $dW_{u} dW_{s}$ 의 이중적분만이 살아남아 다음과 같이 쓸 수 있다. $$X_{t+h} = X_{t} + f_{t} \int_{t}^{t + h} ds + g_{t} \int_{t}^{t + h} d W_{s} + \int_{t}^{t + h} \int_{t}^{s} g_{u} g_{u}’ d W_{u} d W_{s}$$ 마지막 항 $\int_{t}^{t + h} \int_{t}^{s} g_{u} g_{u}’ d W_{u} d W_{s}$ 은 이토 공식의 따름정리 $$\begin{equation} \int_{a}^{b} W_{s} d W_{s} = {{ 1 } \over { 2 }} \left[ W_{b}^{2} - W_{a}^{2} \right] - {{ 1 } \over { 2 }} (b-a) \end{equation}$$ 과 위너 프로세스의 인크리먼트의 정규성, 즉 $$\begin{equation} \left( W_{t+h} - W_{t} \right) \sim \sqrt{h} N \left( 0, 1 \right) \end{equation}$$ 에 따라 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z \sim N (0,1)$ 에 대해 근사적으로 다음과 같이 계산된다. $$\begin{align*} & \int_{t}^{t + h} \int_{t}^{s} g_{u} g_{u}’ d W_{u} d W_{s} \\ \approx& g_{t} g_{t} ' \int_{t}^{t+h} \int_{t}^{s} d W_{u} d W_{s} \\ =& g_{t} g_{t} ' \int_{t}^{t+h} \left( W_{s} - W_{t} \right) d W_{s} \\ =& g_{t} g_{t} ' \left[ \int_{t}^{t+h} W_{s} d W_{s} - W_{t} \left( W_{t+h} - W_{t} \right) \right] \\ =& g_{t} g_{t} ' \left[ \int_{t}^{t+h} W_{s} d W_{s} - W_{t} W_{t+h} + W_{t}^{2} \right] \\ =& g_{t} g_{t} ' \left[ {{ W_{t + h}^{2} } \over { 2 }} - {{ W_{t}^{2} } \over { 2 }} - {{ h } \over { 2 }} - W_{t} W_{t+h} + W_{t}^{2} \right] & \cdots (1) \\ =& {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t} ' \left[ W_{t + h}^{2} + W_{t}^{2} - h - 2 W_{t} W_{t+h} \right] \\ =& {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t} ' \left[ \left( W_{t + h} - W_{t} \right)^{2} - h \right] \\ =& {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t} ' \left[ h Z^{2} - h \right] & \cdots (2) \\ =& {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t}’ h \left( Z^{2} - 1 \right) \end{align*}$$ 이를 정리하면 다음을 얻는다. $$X_{i+1} = X_{i} + f_{i} h + g_{i} \sqrt{h} Z + {{ 1 } \over { 2 }} g_{i} g_{i}’ h \left( Z^{2} - 1 \right)$$

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