📂확률미분방정식

오일러-마루야마 메소드 유도

메소드 ¹

$$d X(t) = f \left( X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in [t_{0}, T]$$ 이토 프로세스가 위와 같은 자율 확률미분방정식의 솔루션으로써 주어져 있다고 하자. 간격이 $h$ 으로 일정한 등간격시점 $\left\{ t_{i} \le T : t_{i+1} = t_{i} + h \right\}_{i=0}^{N}$ 에 대해서 다음과 같이 계산되는 $Y_{i} := Y \left( t_{i} \right)$ 는 주어진 미분방정식의 수치적 해다. $$Y_{i+1} = Y_{i} + f \left( Y_{i} \right) h + g \left( Y_{i} \right) \sqrt{h} Z$$ 여기서 $Z$ 는 표준정규분포를 따르는 확률변수다.

수렴성

이 솔루션은 강하게 $\gamma = 1/2$차 수렴하고, 약하게 $\beta = 1$차 수렴한다.

설명

오일러-마루야마 근사 스킴^{euler-Maruyama Approximation Scheme}은 확률미분방정식을 수치적으로 푸는 가장 단순한 메소드로써, 개념적으로는 상미분방정식을 푸는 오일러 메소드과 다를 게 없으며 실제 계산을 하는 입장에선 그냥 식을 보고 그대로 적어내는 시뮬레이션 그 자체다.

유도

$$X_{t+h} = X_{t} + \int_{t}^{t+h} f(s) ds + \int_{t}^{t+h} g(s) d W_{s}$$ 이토 프로세스의 적분꼴을 생각해보자. 드리프트 텀^{drift Term}은 $$\int_{t}^{t+h} f(s) ds \approx f \left( X_{t} \right) \int_{t}^{t+h} ds = f \left( X_{t} \right) h$$ 이고, 디퓨전 텀^{diffusion Term}은 $$\begin{align*} \int_{t}^{t+h} g(s) dW_{s} \approx& g \left( X_{t} \right) \int_{t}^{t+h} dW_{s} \\ =& g \left( X_{t} \right) \left( W_{t+h} - W_{t} \right) \\ =& g \left( X_{t} \right) \Delta W_{t} \end{align*}$$ 다. 위너 프로세스의 인크리먼트 $W_{t+h} - W_{t}$ 는 정규분포 $N \left( 0, h \right)$ 를 따르므로 $\Delta W_{t+h} \sim \sqrt{h} N \left( 0 , 1 \right)$ 다. 따라서 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$X_{i+h} = X_{i} + f \left( X_{i} \right) h + g \left( X_{i} \right) \sqrt{h} Z$$

■