📂확률미분방정식

이토-테일러 전개 유도

정리 ¹

$$d X(t) = f \left( X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in [0, T]$$ 이토 프로세스가 위와 같은 자율 확률미분방정식의 솔루션으로써 주어져 있다고 하자. $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 가 리니어 성장 조건을 만족하면, 즉 어떤 상수 $K$ 에 대해 $\begin{cases} \left| f \left( X_{t} \right) \right| \le K \left( 1 + \left| X_{t} \right|^{2} \right) \\ \left| g \left( X_{t} \right) \right| \le K \left( 1 + \left| X_{t} \right|^{2} \right) \end{cases}$ 이고 충분히 여러번 미분가능하면 다음이 성립한다. $$X_{t} = X_{0} + f \left( X_{0} \right) \int_{0}^{t} ds + g \left( X_{0} \right) \int_{0}^{t} d W_{s} + R$$ 여기서 나머지^remainder $R$ 은 다음과 같다. $L^{k}$ 는 유도 과정에서 등장하는 오퍼레이터다. $$R = \int_{0}^{t} L^{0} f \left( X_{z} \right) dz ds + \int_{0}^{t} L^{1} f \left( X_{z} \right) dW_{z} ds + \int_{0}^{t} L^{0} g \left( X_{z} \right) dz dW_{s} + \int_{0}^{t} L^{1} g \left( X_{z} \right) dW_{z} dW_{s}$$

설명

이토-테일러 전개는 확률적 테일러 공식^{stochastic Taylor formula}이라고도 불리는 정리다. 수식적으로는 적분 안에 있던 $f \circ X_{t}$ 와 $g \circ X_{t}$ 가 $t=0$ 에서 평가되어^evaluated 상수항으로써 밖으로 나오고, 그에 따라 발생하는 오차를 $R$ 로 묶어놓은 것으로 볼 수 있다.

유도

$$X (t) = X_{0} + \int_{0}^{t} f(s) ds + \int_{0}^{t} g(s) d W_{s}$$ 위와 같이 이토 프로세스의 적분꼴을 생각해보자.

이토 공식: 이토 프로세스 $\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 가 주어져 있다고 하자. $$d X_{t} = u dt + v d W_{t}$$ 함수 $V \left( t, X_{t} \right) = V \in C^{2} \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right)$ 에 대해 $Y_{t} := V \left( t, X_{t} \right)$ 라 두면 $\left\{ Y_{t} \right\}$ 역시 이토 프로세스고, 다음이 성립한다. $$\begin{align*} d Y_{t} =& V_{t} dt + V_{x} d X_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} \left( d X_{t} \right)^{2} \\ =& \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} \end{align*}$$

$X_{t}$ 에 이계도함수가 연속인 함수 $h \in C^{2} \left( \mathbb{R} \right)$ 를 취하면 이토 공식에 따라 $$\begin{align*} h \left( X_{t} \right) =& h \left( X_{0} \right) + \int_{0}^{t} \left[ f \left( X_{s} \right) {{ \partial } \over { \partial X }} h \left( X_{s} \right) + {{ 1 } \over { 2 }} \left[ g \left( X_{s} \right) \right]^{2} {{ \partial^{2} } \over { \partial X^{2} }} h \left( X_{s} \right) \right] ds \\ & + \int_{0}^{t} g \left( X_{s} \right) {{ \partial } \over { \partial X }} h \left( X_{s} \right) d W_{s} \\ =& h \left( X_{0} \right) + \int_{0}^{t} L^{1} h \left( X_{s} \right) ds + \int_{0}^{t} L^{1} h \left( X_{s} \right) d W_{S} \end{align*}$$ 여기서 $L^{0}$ 과 $L^{1}$ 은 다음과 같이 정의되는 오퍼레이터다. $$\begin{align*} L^{0} &:= f {{ \partial } \over { \partial X }} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} {{ \partial^{2} } \over { \partial X ^{2} }} \\ L^{1} &:= g {{ \partial } \over { \partial X }} \end{align*}$$ 이를 형식적으로 $h = f$ 와 $h = g$ 에 적용시켜서 원래의 주어져있던 적분꼴 이토 프로세스의 $f \left( X_{t} \right)$ 와 $g \left( X_{t} \right)$ 에 대입하면 다음을 얻는다. $$\begin{align*} X (t) =& X_{0} + \int_{0}^{t} f(s) ds + \int_{0}^{t} g(s) d W_{s} \\ =& X_{0} + \int_{0}^{t} \left( {\color{Red} f \left( X_{0} \right)} + \int_{0}^{s} L^{1} f \left( X_{z} \right) dz + \int_{0}^{s} L^{1} f \left( X_{z} \right) d W_{z} \right) ds \\ & + \int_{0}^{t} \left( {\color{Red} g \left( X_{0} \right)} + \int_{0}^{s} L^{1} g \left( X_{z} \right) ds + \int_{0}^{s} L^{1} g \left( X_{z} \right) d W_{z} \right) d W_{s} \\ =& X_{0} + \int_{0}^{t} f \left( X_{0} \right) ds + \int_{0}^{t} g \left( X_{0} \right) d W_{s} + R \\ =& X_{0} + f \left( X_{0} \right) \int_{0}^{t} ds + g \left( X_{0} \right) \int_{0}^{t} d W_{s} + R \end{align*}$$

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