📂확률미분방정식

CKLS 평균 복귀 감마 확률미분방정식

모델 ¹

$$ d X_{t} = \left( \alpha - \beta X_{t} \right) dt + \sigma X_{t}^{\gamma} d W_{t} \qquad , X_{0} > 0 $$ $\alpha, \beta, \sigma, \gamma > 0$ 라고 하자. 위 확률미분방정식을 CKLS 평균 복귀 감마 확률미분방정식이라고 한다.

변수

• $X_{t}$: 이자율^{interesting rate} 혹은 유전자 빈도^{gene frequency}를 나타낸다.

파라미터

• $\alpha / \beta$: 복귀 평균으로, $X_{t}$ 는 장기적으로 보았을 때 이 값으로 돌아가려고 한다.
• $\alpha > 0$: 조정 속도^{speed of adjustment}으로, 값이 클수록 빠른 속도로 평균으로 복귀한다.
• $\sigma > 0$: 변동성^volatility을 나타낸다.
• $\gamma > 0$: $X_{t}$ 와 변동성 사이의 비선형적인 관계를 나타낸다.

설명

CKLS 방정식은 챈^Chan, 카로이^Károlyi, 롱스태프^Longstaff, 샌더스^Sanders에게 제안된 확률미분방정식으로써, 금융 수학에서 널리 알려진 여러 모델의 일반화로 볼 수 있다.

• $\gamma = 0$: 온스테인-울렌벡 방정식이 된다.
• $\gamma = {{ 1 } \over { 2 }}$: CIR 모델이 된다.
• $\gamma = 1$: 기하 브라운 운동^GBM이 된다.