최대공약수와 서로소
정의 1
- 두 정수 과 에 대해 다음을 만족하는 정수 가 존재하면 을 이 나눈다고 한다. 이 때 을 의 배수multiple, 을 의 약수divisor라 하며 다음과 같이 표기한다. 이 을 나눌 수 없으면 삭선을 그어 로 나타낸다.
- 이 아닌 두 정수 , 가 주어져 있다고 하자. 둘 모두를 나누는 약수 중 가장 큰 수를 와 의 최대공약수greatest Common Divisor라 하며, 와 같이 표기한다.
- 만약 이면 와 가 서로 소relatively Prime라고 한다.
설명
최대공약수와 서로소라는 개념은 대부분 초등학생 시절부터 보아왔을 개념이다.
서로 소의 영문 표현인 Relatively Prime을 보면 알수있듯, 사실 많은 사람들의 언어습관과 달리(심지어 이 포스트의 제목에서도 띄어쓰기 없이 서로소라 쓰고 있다) 서로소는 서로relatively 소prime하다는 말이다. 영어에서 ‘서로’를 표현하는 더 적합한 단어는 상호적인(Mutually)겠지만, 수학 전반에서 Mutually는 나름의 중요한 의미가 있어 상대적인(Relatively)이 쓰인다. 이때 상대적이라는 것은 두 수 , 는 이외의 약수를 공유하지 않으므로 서로에게 있어서 사실상 소수나 마찬가지라는 뜻이다. 절대적으로는 소수가 아닐 수 있지만, 서로에게 있어서만은 소수처럼 취급할 수 있다는 정도로 받아들이면 된다.
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대수적인 일반화
유일인수분해정역에서 일반화된다.
Silverman. (2012). A Friendly Introduction to Number Theory (4th Edition): p30. ↩︎