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온스테인-울렌벡 방정식 📂확률미분방정식

온스테인-울렌벡 방정식

정의 1

dXt=aXtdt+σdWt d X_{t} = a X_{t} dt + \sigma d W_{t} a,σ∈Ra , \sigma \in \mathbb{R} 이라고 하자. 위 확률미분방정식을 온스테인-울렌벡 방정식Ornstein-Uhlenbeck equation이라 하고, 그 솔루션인 확률과정 XtX_{t} 를 온스테인-울렌벡 프로세스라고 한다. Xt=X0eat+σ∫0tea(t−s)dWs X_{t} = X_{0} e^{a t} + \sigma \int_{0}^{t} e^{a (t-s)} d W_{s}

설명 2

온스테인-울렌벡 방정식은 랑주뱅 방정식Langevin equation으로도 불린다.

a<0a < 0 이면 XtX_{t} 와 aXtdta X_{t} dt 의 부호가 반대가 되어 정상적stationary인 움직임을 보이게 된다. Xt>0X_{t} > 0 일 때는 작아지려 하고 Xt<0X_{t} < 0 일 때는 커지려고 해서, XtX_{t} 가 어디에 있든 00 으로 돌아가려 하는 것이다. 이를 μ∈R\mu \in \mathbb{R} 에 대해 일반화하면 다음과 같이 평균 복귀mean-reverting 온스테인-울렌벡 프로세스를 솔루션으로 갖는 SDE를 얻는다. dXt=a(Xt−μ)dt+σdWt,a<0 d X_{t} = a \left( X_{t} - \mu \right) dt + \sigma d W_{t} \qquad , a < 0 이 온스테인-울렌벡 프로세스는 평균 μ\mu 에 귀속되어서 요동치는 브라운 모션이라 볼 수 있다.

풀이

dXt=aXtdt+σdWt d X_{t} = a X_{t} dt + \sigma d W_{t} 의 양변에 e−ate^{-a t} 를 곱해 다음을 얻는다. e−atdXt=e−atXt+σe−atdWt e^{-a t}d X_{t} = e^{-a t} X_{t} + \sigma e^{-a t} d W_{t} d(e−atXt)d \left( e^{-a t} X_{t} \right) 를 계산해보면 d(e−atXt)dt=−ae−atXt+e−atdXtdt  ⟹  d(e−atXt)=−ae−atXtdt+e−atdXt {{ d \left( e^{-a t} X_{t} \right) } \over { dt }} = -a e^{-a t} X_{t} + e^{-a t} {{ d X_{t} } \over { dt }} \\ \implies d \left( e^{-a t} X_{t} \right) = -a e^{-a t} X_{t} dt + e^{-a t} d X_{t} 이므로 e−atdXt=ae−atXtdt+d(e−atXt)=ae−atXtdt+σe−atdWt \begin{align*} e^{-a t}d X_{t} =& a e^{-a t} X_{t} dt + d \left( e^{-a t} X_{t} \right) \\ =& a e^{-a t} X_{t} dt + \sigma e^{-a t} d W_{t} \end{align*} 이다. ae−atXtdta e^{-a t} X_{t} dt 을 정리하고 ∫0t\int_{0}^{t} 를 취하면 다음과 같다. d(e−atXt)=σe−atdWt  ⟹  ∫0td(e−asXs)=∫0tσe−asdWs  ⟹  e−atXt−X0=∫0tσe−asdWs  ⟹  e−atXt=X0+∫0tσe−asdWs  ⟹  Xt=eatX0+∫0tσea(t−s)dWs \begin{align*} & d \left( e^{-a t} X_{t} \right) = \sigma e^{-a t} d W_{t} \\ \implies& \int_{0}^{t} d \left( e^{-a s} X_{s} \right) = \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& e^{-a t} X_{t} - X_{0} = \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& e^{-a t} X_{t} = X_{0} + \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& X_{t} = e^{a t} X_{0} + \int_{0}^{t} \sigma e^{a (t-s)} d W_{s} \end{align*}

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  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p74. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p144. ↩︎