온스테인-울렌벡 방정식
정의 1
$$ d X_{t} = a X_{t} dt + \sigma d W_{t} $$ $a , \sigma \in \mathbb{R}$ 이라고 하자. 위 확률미분방정식을 온스테인-울렌벡 방정식Ornstein-Uhlenbeck equation이라 하고, 그 솔루션인 확률과정 $X_{t}$ 를 온스테인-울렌벡 프로세스라고 한다. $$ X_{t} = X_{0} e^{a t} + \sigma \int_{0}^{t} e^{a (t-s)} d W_{s} $$
설명 2
온스테인-울렌벡 방정식은 랑주뱅 방정식Langevin equation으로도 불린다.
$a < 0$ 이면 $X_{t}$ 와 $a X_{t} dt$ 의 부호가 반대가 되어 정상적stationary인 움직임을 보이게 된다. $X_{t} > 0$ 일 때는 작아지려 하고 $X_{t} < 0$ 일 때는 커지려고 해서, $X_{t}$ 가 어디에 있든 $0$ 으로 돌아가려 하는 것이다. 이를 $\mu \in \mathbb{R}$ 에 대해 일반화하면 다음과 같이 평균 복귀mean-reverting 온스테인-울렌벡 프로세스를 솔루션으로 갖는 SDE를 얻는다. $$ d X_{t} = a \left( X_{t} - \mu \right) dt + \sigma d W_{t} \qquad , a < 0 $$ 이 온스테인-울렌벡 프로세스는 평균 $\mu$ 에 귀속되어서 요동치는 브라운 모션이라 볼 수 있다.
풀이
$$ d X_{t} = a X_{t} dt + \sigma d W_{t} $$ 의 양변에 $e^{-a t}$ 를 곱해 다음을 얻는다. $$ e^{-a t}d X_{t} = e^{-a t} X_{t} + \sigma e^{-a t} d W_{t} $$ $d \left( e^{-a t} X_{t} \right)$ 를 계산해보면 $$ {{ d \left( e^{-a t} X_{t} \right) } \over { dt }} = -a e^{-a t} X_{t} + e^{-a t} {{ d X_{t} } \over { dt }} \\ \implies d \left( e^{-a t} X_{t} \right) = -a e^{-a t} X_{t} dt + e^{-a t} d X_{t} $$ 이므로 $$ \begin{align*} e^{-a t}d X_{t} =& a e^{-a t} X_{t} dt + d \left( e^{-a t} X_{t} \right) \\ =& a e^{-a t} X_{t} dt + \sigma e^{-a t} d W_{t} \end{align*} $$ 이다. $a e^{-a t} X_{t} dt$ 을 정리하고 $\int_{0}^{t}$ 를 취하면 다음과 같다. $$ \begin{align*} & d \left( e^{-a t} X_{t} \right) = \sigma e^{-a t} d W_{t} \\ \implies& \int_{0}^{t} d \left( e^{-a s} X_{s} \right) = \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& e^{-a t} X_{t} - X_{0} = \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& e^{-a t} X_{t} = X_{0} + \int_{0}^{t} \sigma e^{-a s} d W_{s} \\ \implies& X_{t} = e^{a t} X_{0} + \int_{0}^{t} \sigma e^{a (t-s)} d W_{s} \end{align*} $$
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