📂확률미분방정식

선형, 동차, 자율 확률미분방정식

정의 ¹

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 필트레이션 $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 이 주어져 있다고 하자. 두 함수 $f$, $g$ 와 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드인 $m$차원 위너 프로세스 $W_{t}$ 에 대해 다음과 같은 $n$차원 확률미분방정식을 생각해보자. $$ \begin{align*} d X_{t} =& f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t} \\ f =& a(t) + A(t) X_{t} \\ g =& b(t) + B(t) X_{t} \\ a, b &: [0,T] \to \mathbb{R}^{n} \\ A, B &: [0,T] \to \mathbb{R}^{n \times m} \end{align*} $$

1. $f, g$ 가 다음과 같이 나타나는 SDE를 선형^linear이라 한다. $$ d X_{t} = \left( a(t) + A(t) X_{t} \right) dt + \left( b(t) + B(t) X_{t} \right) dW_{t} $$
2. $a(t) = b(t) = 0$ 인 SDE를 동차^homogeneous라 한다. $$ d X_{t} = X_{t} \left[ A(t) dt + B(t) d W_{t} \right] $$
3. $B(t) = 0$ 인 SDE를 협의에서의 선형^{linear in the Narrow Sense}이라 한다. $$ d X_{t} = a(t) dt + A(t) X_{t} dt + b(t) d W_{t} $$
4. $a,A,b,B$ 가 시간 $t$ 에 독립일 때 자율 선형^{autonomous Linear}이라 한다. $$ d X_{t} = \left( a + A X_{t} \right) dt + \left( b + B X_{t} \right) d W_{t} $$

예시

이들은 SDE 중에서는 쉬운 편이고 그 솔루션들이 널리 알려져있다.

Homogeneous SDE

가장 유명한 예로써 지오메트릭 브라우니안 모션^{gBM, Geometric Brownian motion}을 정의하는 다음의 SDE가 알려져있다. $$ d X_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma X_{t} d W_{t} $$

Linear SDE in the Narrow Sense

다음은 온스테인-울렌벡 방정식^{Ornstein–Uhlenbeck equation} 혹은 랑주뱅 방정식^{Langevin equation}이라고 알려져있다.

$$ d X_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma d W_{t} $$