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미적분학의 기본정리 증명 📂미분적분학

미적분학의 기본정리 증명

정리1

함수 ff 가 폐구간 [a,b][a,b] 에서 연속이라고 하자.

(1) 함수 F(x)=axf(t)dt\displaystyle F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt[a,b][a,b] 에서 연속, (a,b)(a,b) 에서 미분가능하며 dF(x)dx=f(x)\displaystyle {{dF(x)} \over {dx}} = f(x) 를 만족한다.

(2) ff 의 임의의 부정적분 FF 에 대해 abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)

설명

물론 우리야 미분, 적분이라는 단어를 사용하기 때문에 이들 사이의 관계를 쉽게 짐작할 수 있다. 하지만 영어로는 differential과 integral로 전혀 상관없는데다 개념 역시 딱히 닮은 구석이 없다.

미적분학의 기본정리는 이 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있음을 보여주고 있다.

증명

(1)

적분의 평균값 정리에 의해, f(c)=1hxx+hf(t)dt\displaystyle f(c) = {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) dt 를 만족하는 ccx,x+hx, x+h 사이에 존재한다.

h0h \to 0 일 때 cxc \to x 이므로

limh01hxx+hf(t)dt=limh0f(c)=f(x) \lim_{h \to 0} {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) dt = \lim_{h \to 0} f(c) = f(x)

한편 F(x+h)F(x)=ax+hf(t)dtaxf(t)dt=xx+hf(t)dt\displaystyle F(x+h) - F(x) = \int_{a}^{x+h} f(t) dt - \int_{a}^{x} f(t) dt = \int_{x}^{x+h} f(t) dt 이므로

1hxx+hf(t)dt=F(x+h)F(x)h {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) dt = { {F(x+h) - F(x)} \over {h} }

이기도 하다. 따라서

limh0F(x+h)F(x)h=F(x)=f(x) \lim_{h \to 0} { {F(x+h) - F(x)} \over {h} } = F ' (x) = f(x)

(2)

FFff 의 부정적분이므로 abf(t)dt=F(b)+C\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) + C 이고

aaf(t)dt=F(a)+C \int_{a}^{a} f(t) dt = F(a) + C

양변끼리 서로 빼면

abf(x)dx=F(b)F(a) \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)

같이보기


  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p399-405 ↩︎