미적분학의 기본정리 증명
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정리
함수 f 가 폐구간 [a,b] 에서 연속이라고 하자.
(1) 함수 F(x)=∫axf(t)dt 는 [a,b] 에서 연속, (a,b) 에서 미분가능하며 dxdF(x)=f(x) 를 만족한다.
(2) f 의 임의의 부정적분 F 에 대해 ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
설명
물론 우리야 미분, 적분이라는 단어를 사용하기 때문에 이들 사이의 관계를 쉽게 짐작할 수 있다. 하지만 영어로는 differential과 integral로 전혀 상관없는데다 개념 역시 딱히 닮은 구석이 없다.
미적분학의 기본정리는 이 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있음을 보여주고 있다.
증명
(1)
적분의 평균값 정리에 의해, f(c)=h1∫xx+hf(t)dt 를 만족하는 c 가 x,x+h 사이에 존재한다.
h→0 일 때 c→x 이므로
h→0limh1∫xx+hf(t)dt=h→0limf(c)=f(x)
한편 F(x+h)−F(x)=∫ax+hf(t)dt−∫axf(t)dt=∫xx+hf(t)dt 이므로
h1∫xx+hf(t)dt=hF(x+h)−F(x)
이기도 하다. 따라서
h→0limhF(x+h)−F(x)=F′(x)=f(x)
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(2)
F 는 f 의 부정적분이므로 ∫abf(t)dt=F(b)+C 이고
∫aaf(t)dt=F(a)+C
양변끼리 서로 빼면
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
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