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확률미분방정식의 해의 존재성과 유일성, 강한 해와 약한 해 📂확률미분방정식

확률미분방정식의 해의 존재성과 유일성, 강한 해와 약한 해

정의 1

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 와 필트레이션 {Ft}t≥0\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0} 이 주어져 있다고 하자. f:[0,T]×Rn→Rng:[0,T]×Rn→Rn×m \begin{align*} f &: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} \\ g &: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n \times m} \end{align*} 두 함수 ff, gg 와 Ft\mathcal{F}_{t}-어댑티드인 mm차원 위너 프로세스 WtW_{t} 에 대해 다음과 같은 nn차원 확률미분방정식을 생각해보자. dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dWt d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t}

  1. 연속이고 FtF_{t}-어댑티드인 확률과정 {Xt}\left\{ X_{t} \right\} 가 모든 t∈[0,T]t \in [0 , T] 에서 거의 확실히 위 방정식을 성립시키고 f∈L1[0,T]f \in L^{1} [0,T] 이며 g∈L2[0,T]g \in L^{2} [0,T] 면 {Xt}\left\{ X_{t} \right\} 를 주어진 방정식의 해solution라 한다.
  2. {Xt}\left\{ X_{t} \right\} 가 아닌 다른 모든 해 {Xt~}\left\{ \tilde{X_{t}} \right\} 들에 대해 다음이 성립하면 이 해가 유일unique하다고 한다. P(Xt=Xt~,t∈[0,T])=1 P \left( X_{t} = \tilde{X_{t}} , t \in [0, T] \right) = 1

정리: 존재성과 유일성 2

  • (i) 리니어 성장 조건: 어떤 상수 CC 와 x∈Rnx \in \mathbb{R}^{n} 와 t∈[0,T]t \in [0,T] 에 대해 ∣f(t,x)∣+∣g(t,x)∣≤C(1+∣x∣) \left| f \left( t , x \right) \right| + \left| g \left( t , x \right) \right| \le C \left( 1 + \left| x \right| \right)
  • (ii) 유니폼 립시츠 컨디션: 어떤 상수 DD 와 x,y∈Rnx , y \in \mathbb{R}^{n} 와 t∈[0,T]t \in [0,T] 에 대해 ∣f(t,x)−f(t,y)∣+∣g(t,x)−g(t,y)∣≤D∣x−y∣ \left| f(t,x) - f(t,y) \right| + \left| g(t,x) - g(t,y) \right| \le D \left| x - y \right|

위의 두 조건을 만족하면 다음의 확률미분방정식 dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dWt d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t} 은 다음과 같은 성질을 가지는 유일해 XtX_{t} 를 가진다. sup⁡t∈[0,T]E[∣Xt∣2]<∞ \sup_{t \in [0,T]} E \left[ \left| X_{t} \right|^{2} \right] < \infty

  • ∣g∣|g| 는 행렬의 프로베니우스 놈 ∣g∣2=∑i,j∣gij∣2|g|^{2} = \sum_{i,j} \left| g_{ij} \right|^{2} 을 의미한다.

강한 솔루션과 약한 솔루션

위의 정리를 통해 존재성이 보장되는 그 솔루션 XtX_{t} 를 강한 솔루션strong solution이라 한다. XtX_{t} 는 우리가 브라운 모션 WtW_{t} 를 잘 알고 있는 상황, 즉 주어진 확률공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 에 대한 정보가 충분해서 WtW_{t} 가 Ft\mathcal{F}_{t}-어댑티드라는 가정 하에서 얻은 솔루션으로 보는 것이다.

반면 오직 ff 와 gg 만이 주어진 상황, 그러니까 WtW_{t} 에 대한 정보가 주어져 있지 않을 때, 어떤 ((X~t,W~t),F~t)\left( \left( \tilde{X}_{t} , \tilde{W}_{t} \right) , \tilde{F}_{t} \right) 가 존재해서 주어진 확률미분방정식을 만족시킬 때, 이를 약한 솔루션weak solution이라 한다. 정확하게는 솔루션과 W~t\tilde{W}_{t} 의 짝인 (X~t,W~t)\left( \tilde{X}_{t} , \tilde{W}_{t} \right) 가 약한 솔루션이며 W~t\tilde{W}_{t} 는 필트레이션 F~t\tilde{F}_{t} 에 어댑티드한 브라운 모션(F~t\tilde{F}_{t} 에 대한 마틴게일한 브라운 모션)이다. 여기서 굳이 X~t\tilde{X}_{t} 도 Ft\mathcal{F}_{t}-어댑티드일 필요는 없다.

물론 강한 솔루션은 약한 솔루션이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 약한 솔루션은 어떻게 보면 뻔히 솔루션인걸 알아도 수학적으로 엄밀하게 솔루션이라고 부를 수 없는, 대수적으로 그럭저럭 방정식을 만족시키는 솔루션이라고 볼 수 있을 것이다.

예시: 타나카 방정식 3

dXt=sign⁡(Xt)dWt d X_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d W_{t} 위의 확률미분방정식을 타나카 방정식Tanaka equation이라 한다. 여기서 sign⁡\operatorname{sign} 은 부호를 의미한다. 여기서는 디퓨전 g(t,Xt)=sign⁡(Xt)g \left( t , X_{t} \right) = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) 이 00 근방에서 립시츠 조건을 만족시키지 못하므로 강한 해의 존재성이 보장되지 못하며, 실제로 존재하지 못함을 보일 수도 있다. 그 엄밀한 증명은 쉽지 않아 생략한다.

반면 약한 솔루션을 생각해보면 어떤 브라운 모션이든 타나카 방정식의 솔루션이 될 수 있다. 사실 딱 봐도 브라운 모션일 수밖에 없고, 실제로 그렇다. dXtdX_{t} 는 dWtdW_{t} 에만 영향을 받는데, dXtdX_{t} 의 부호가 어떻게 되든 dWtdW_{t} 역시 음일 확률과 양일 확률이 딱 반반이라 따지는 의미가 없기 때문이다.

아무 브라운 모션 BtB_{t} 에 대해 Xt=BtX_{t} = B_{t} 이라고 하고, B~t\tilde{B}_{t} 을 다음과 같이 정의해보자. B~t:=∫0tsign⁡(Bs)dBs=∫0tsign⁡(Xs)dXs \tilde{B}_{t} := \int_{0}^{t} \operatorname{sign} \left( B_{s} \right) d B_{s} = \int_{0}^{t} \operatorname{sign} \left( X_{s} \right) d X_{s} tt 에 대해 미분하면 dB~t=sign⁡(Xt)dXt d \tilde{B}_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d X_{t} 이고, 양변에 sign⁡(Xt)\operatorname{sign} \left( X_{t} \right) 을 곱하면 (sign⁡(Xt))2=1\left( \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) \right)^{2} = 1 이므로 dXt=sign⁡(Xt)dB~t d X_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d \tilde{B}_{t} 이다. 다시 말해, Xt=BtX_{t} = B_{t} 는 타나카 방정식을 만족시키는 약한 솔루션이 된다.

  1. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p134. ↩︎

  2. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p66~70. ↩︎

  3. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p71. ↩︎