📂확률미분방정식

확률미분방정식의 해의 존재성과 유일성, 강한 해와 약한 해

정의 ¹

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 필트레이션 $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 이 주어져 있다고 하자. $$ \begin{align*} f &: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} \\ g &: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n \times m} \end{align*} $$ 두 함수 $f$, $g$ 와 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드인 $m$차원 위너 프로세스 $W_{t}$ 에 대해 다음과 같은 $n$차원 확률미분방정식을 생각해보자. $$ d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t} $$

1. 연속이고 $F_{t}$-어댑티드인 확률과정 $\left\{ X_{t} \right\}$ 가 모든 $t \in [0 , T]$ 에서 거의 확실히 위 방정식을 성립시키고 $f \in L^{1} [0,T]$ 이며 $g \in L^{2} [0,T]$ 면 $\left\{ X_{t} \right\}$ 를 주어진 방정식의 해^solution라 한다.
2. $\left\{ X_{t} \right\}$ 가 아닌 다른 모든 해 $\left\{ \tilde{X_{t}} \right\}$ 들에 대해 다음이 성립하면 이 해가 유일^unique하다고 한다. $$ P \left( X_{t} = \tilde{X_{t}} , t \in [0, T] \right) = 1 $$

정리: 존재성과 유일성 ²

• (i) 리니어 성장 조건: 어떤 상수 $C$ 와 $x \in \mathbb{R}^{n}$ 와 $t \in [0,T]$ 에 대해 $$ \left| f \left( t , x \right) \right| + \left| g \left( t , x \right) \right| \le C \left( 1 + \left| x \right| \right) $$
• (ii) 유니폼 립시츠 컨디션: 어떤 상수 $D$ 와 $x , y \in \mathbb{R}^{n}$ 와 $t \in [0,T]$ 에 대해 $$ \left| f(t,x) - f(t,y) \right| + \left| g(t,x) - g(t,y) \right| \le D \left| x - y \right| $$

위의 두 조건을 만족하면 다음의 확률미분방정식 $$ d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t} $$ 은 다음과 같은 성질을 가지는 유일해 $X_{t}$ 를 가진다. $$ \sup_{t \in [0,T]} E \left[ \left| X_{t} \right|^{2} \right] < \infty $$

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• $|g|$ 는 행렬의 프로베니우스 놈 $|g|^{2} = \sum_{i,j} \left| g_{ij} \right|^{2}$ 을 의미한다.

강한 솔루션과 약한 솔루션

위의 정리를 통해 존재성이 보장되는 그 솔루션 $X_{t}$ 를 강한 솔루션^{strong Solution}이라 한다. $X_{t}$ 는 우리가 브라운 모션 $W_{t}$ 를 잘 알고 있는 상황, 즉 주어진 확률공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 에 대한 정보가 충분해서 $W_{t}$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드라는 가정 하에서 얻은 솔루션으로 보는 것이다.

반면 오직 $f$ 와 $g$ 만이 주어진 상황, 그러니까 $W_{t}$ 에 대한 정보가 주어져 있지 않을 때, 어떤 $\left( \left( \tilde{X}_{t} , \tilde{W}_{t} \right) , \tilde{F}_{t} \right)$ 가 존재해서 주어진 확률미분방정식을 만족시킬 때, 이를 약한 솔루션^{weak Solution}이라 한다. 정확하게는 솔루션과 $\tilde{W}_{t}$ 의 짝인 $\left( \tilde{X}_{t} , \tilde{W}_{t} \right)$ 가 약한 솔루션이며 $\tilde{W}_{t}$ 는 필트레이션 $\tilde{F}_{t}$ 에 어댑티드한 브라운 모션($\tilde{F}_{t}$ 에 대한 마틴게일한 브라운 모션)이다. 여기서 굳이 $\tilde{X}_{t}$ 도 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드일 필요는 없다.

물론 강한 솔루션은 약한 솔루션이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 약한 솔루션은 어떻게 보면 뻔히 솔루션인걸 알아도 수학적으로 엄밀하게 솔루션이라고 부를 수 없는, 대수적으로 그럭저럭 방정식을 만족시키는 솔루션이라고 볼 수 있을 것이다.

예시: 타나카 방정식 ³

$$ d X_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d W_{t} $$ 위의 확률미분방정식을 타나카 방정식^{Tanaka equation}이라 한다. 여기서 $\operatorname{sign}$ 은 부호를 의미한다. 여기서는 디퓨전 $g \left( t , X_{t} \right) = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right)$ 이 $0$ 근방에서 립시츠 조건을 만족시키지 못하므로 강한 해의 존재성이 보장되지 못하며, 실제로 존재하지 못함을 보일 수도 있다. 그 엄밀한 증명은 쉽지 않아 생략한다.

반면 약한 솔루션을 생각해보면 어떤 브라운 모션이든 타나카 방정식의 솔루션이 될 수 있다. 사실 딱 봐도 브라운 모션일 수밖에 없고, 실제로 그렇다. $dX_{t}$ 는 $dW_{t}$ 에만 영향을 받는데, $dX_{t}$ 의 부호가 어떻게 되든 $dW_{t}$ 역시 음일 확률과 양일 확률이 딱 반반이라 따지는 의미가 없기 때문이다.

아무 브라운 모션 $B_{t}$ 에 대해 $X_{t} = B_{t}$ 이라고 하고, $\tilde{B}_{t}$ 을 다음과 같이 정의해보자. $$ \tilde{B}_{t} := \int_{0}^{t} \operatorname{sign} \left( B_{s} \right) d B_{s} = \int_{0}^{t} \operatorname{sign} \left( X_{s} \right) d X_{s} $$ $t$ 에 대해 미분하면 $$ d \tilde{B}_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d X_{t} $$ 이고, 양변에 $\operatorname{sign} \left( X_{t} \right)$ 을 곱하면 $\left( \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) \right)^{2} = 1$ 이므로 $$ d X_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d \tilde{B}_{t} $$ 이다. 다시 말해, $X_{t} = B_{t}$ 는 타나카 방정식을 만족시키는 약한 솔루션이 된다.