적분의 평균값 정리
정리
폐구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 가 연속이라고 하면 $\displaystyle f(c) = {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.
설명
평균값의 정리와 유사하지만 말 그대로 적분에 사용되기 때문에 이런 이름이 붙었다. 사용법 역시 매우 유사하고 활용도도 결코 평균값의 정리에 뒤지지 않는다. 한편 함수의 평균값을 우변과 같이 정의하는 걸 생각해보면 오히려 이 쪽이 평균값의 정리고, 원래 널리 알려진 평균값의 정리가 ‘미분의 평균값 정리’라고 불리는 게 타당할지도 모른다.
증명
Strategy: $f$ 의 연속성이 가정되어 있으므로 최대최소값 정리와 중간값 정리를 사용한다.
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고, 최대최소값 정리에 의해 최솟값 $m$ 과 최댓값 $M$ 이 존재하므로
$$ \int_{a}^{b} m dx \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} M dx $$
$$ \implies m \le {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx \le M $$
다시한 번, $f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이므로 중간값 정리에 의해 $m$ 과 $M$ 사이의 $\displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx$ 에 대해 $f(c) = \displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx$ 를 만족하는 $c$ 가 $a$ 와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.
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한편 완전히 같은 방식으로 다음과 같이 가중치 $w$ 에 대해 일반화할 수 있다. 위에서 소개된 폼은 $w(x) = 1$ 인 경우로, $\displaystyle \int_{a}^{b} dx = b - a$ 이 되어 아래의 정리에 잘 커버된다.
따름정리
폐구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 가 연속이고 $w(x) \ge 0$ 가 적분가능하면 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) w(x) dx = f( \xi ) \int_{a}^{b} w(x) dx$ 를 만족하는 $\xi$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.