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적분의 평균값 정리 📂해석개론

적분의 평균값 정리

정리

폐구간 [a,b][a,b] 에서 함수 ff 가 연속이라고 하면 f(c)=1b−a∫abf(x)dx\displaystyle f(c) = {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx 를 만족하는 cc 가 (a,b)(a,b) 에 적어도 하나 존재한다.

설명

평균값의 정리와 유사하지만 말 그대로 적분에 사용되기 때문에 이런 이름이 붙었다. 사용법 역시 매우 유사하고 활용도도 결코 평균값의 정리에 뒤지지 않는다. 한편 함수의 평균값을 우변과 같이 정의하는 걸 생각해보면 오히려 이 쪽이 평균값의 정리고, 원래 널리 알려진 평균값의 정리가 ‘미분의 평균값 정리’라고 불리는 게 타당할지도 모른다.

증명

Strategy: ff 의 연속성이 가정되어 있으므로 최대최소값 정리와 중간값 정리를 사용한다.

ff 가 [a,b][a,b] 에서 연속이고, 최대최소값 정리에 의해 최솟값 mm 과 최댓값 MM 이 존재하므로

∫abmdx≤∫abf(x)dx≤∫abMdx \int_{a}^{b} m dx \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} M dx

  ⟹  m≤1b−a∫abf(x)dx≤M \implies m \le {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx \le M

다시한 번, ff 가 [a,b][a,b] 에서 연속이므로 중간값 정리에 의해 mm 과 MM 사이의 1b−a∫abf(x)dx\displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx 에 대해 f(c)=1b−a∫abf(x)dxf(c) = \displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx 를 만족하는 cc 가 aa 와 bb 사이에 적어도 하나 존재한다.

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한편 완전히 같은 방식으로 다음과 같이 가중치 ww 에 대해 일반화할 수 있다. 위에서 소개된 폼은 w(x)=1w(x) = 1 인 경우로, ∫abdx=b−a\displaystyle \int_{a}^{b} dx = b - a 이 되어 아래의 정리에 잘 커버된다.

따름정리

폐구간 [a,b][a,b] 에서 함수 ff 가 연속이고 w(x)≥0w(x) \ge 0 가 적분가능하면 ∫abf(x)w(x)dx=f(ξ)∫abw(x)dx\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) w(x) dx = f( \xi ) \int_{a}^{b} w(x) dx 를 만족하는 ξ\xi 가 (a,b)(a,b) 에 적어도 하나 존재한다.

같이보기