📂확률미분방정식

이토 프로세스

정의 ¹

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 필트레이션 $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 이 주어져 있다고 하자. 위너 프로세스 $\left\{ W_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드고, $f \in \mathcal{L}^{1} [0 , \infty)$ 과 $g \in \mathcal{L}^{2} [0 , \infty)$ 에 대해 다음과 같은 $1$차원 연속 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드 확률과정 $\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 를 $1$차원 이토 프로세스^{Itô process}라 한다. $$X (t) := X_{0} + \int_{0}^{t} f(s) ds + \int_{0}^{t} g(s) d W_{s}$$

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• $\mathcal{L}^{p} (E)$ 는 정의역이 $E$ 인 함수들을 모아놓은 르벡공간이다.

설명

보통 위의 정의 그대로는 적분기호가 많아서 쓰기 불편하고, 확률 미분^{stochastic differential}을 사용해 다음과 같이 나타내는 경우가 많다. $$d X(t) = f(t) dt + g(t) d W_{t}$$

일반화 ²

$i \ne j \implies W_{i} (t) \perp W_{j}$ 인 $m$차원 브라우니안 모션 $\left\{ \mathbf{W}_{t} \right\}_{t \ge 0} := \left( W_{1} (t) , \cdots , W_{m} (t) \right)$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드하고 $$\begin{align*} \mathbf{f} (t) = \left( f_{1} (t) , \cdots , f_{d} (t) \right) \in & \mathcal{L}^{1} \left( [0, \infty)^{d} \right) \\ \mathbf{g} (t) = \begin{bmatrix} g_{11} (t) & \cdots & g_{1m} (t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{d1} (t) & \cdots & g_{dm} (t) \end{bmatrix} \in & \mathcal{L}^{2} \left( [0, \infty)^{d \times m} \right) \end{align*}$$ 인 벡터함수 $\mathbf{f} : [0, \infty) \to \mathbb{R}^{d}$ 와 행렬함수 $\mathbf{g} : [0, \infty) \to \mathbb{R}^{d \times m}$ 에 대해 다음과 같은 $d$차원 연속 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드 확률과정 $\left\{ \mathbf{X}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 를 $d$차원 이토 프로세스^{Itô process}라 한다. $$\mathbf{X} (t) := \mathbf{X}_{0} + \int_{0}^{t} \mathbf{f}(s) ds + \int_{0}^{t} \mathbf{g}(s) d \mathbf{W}_{s}$$ 물론 이 역시 다음과 같은 확률미분꼴로 쓸 수 있다. $$d \mathbf{X}(t) = \mathbf{f}(t) dt + \mathbf{g}(t) d \mathbf{W}_{t}$$