이토 등거리 등식
정리 1
모든 $f \in m^{2}[a,b]$ 에 대해 다음 등식이 성립한다. $$ E \left[ \left( \int_{a}^{b} f d W_{t} \right)^{2} \right] = E \left[ \int_{a}^{b} f^{2} dt \right] $$
설명
적분기호 밖의 제곱 $^{2}$ 이 넘나드는 것도 맞지만, 적분자 $d W_{t}$ 와 $dt$ 역시 바뀌는 것에도 주목해야한다.
증명 1
전략: 초등 과정의 시퀀스 $\left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 에 대해서만 보이면 이토 적분의 정의에 따라 자연스럽게 $\phi_{n} \to f \in m^{2}$ 에 대해 일반화되므로, 초등 과정 $\phi_{n}$ 만 생각해도 충분하다. 하나의 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 을 픽스하고, $\phi := \phi_{n_{0}}$ 라 두자.
$$ \phi (t, \omega) := \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \chi_{[t_{j}, t_{j+1})} (t) \qquad , a = t_{0} < \cdots < t_{k} = b $$ 바운드 된bounded 초등 과정 $\phi$ 가 위와 같이 나타난다고 하자.
$\Delta W_{j} := W_{t_{j+1}} - W_{t_{j}}$ 라 두면 $W_{t}$ 가 위너 프로세스이므로 $$ E \left[ e_{i} e_{j} \Delta W_{i} \Delta W_{j} \right] = \begin{cases} 0 & , \text{if } i \ne j \\ E \left[ e_{j}^{2} \right] \cdot \left( t_{j+1} - t_{j} \right) & , \text{if } i = j \end{cases} $$ 이다. 또한 $i \ne j$ 면 $\Delta W_{i} \perp \Delta W_{j}$ 이므로 $$ \begin{align*} E \left[ \left( \int_{a}^{b} \phi d W_{t} \right)^{2} \right] =& \sum_{i,j} E \left[ e_{i} e_{j} \Delta W_{i} \Delta W_{j} \right] \\ =& \sum_{j} E \left[ e_{j}^{2} \right] \left( t_{j+1} - t_{j} \right) \\ =& E \left[ \int_{a}^{b} \phi^{2} dt \right] \end{align*} $$
■