접평면과 노멀 벡터
정의 1
$2$차원 유클리드 공간의 개집합 $U \subset \mathbb{R}^{2}$ 이 두 좌표 $u_{1}$, $u_{2}$ 를 가졌다고 할 때, $\mathbf{x}_{1}$, $\mathbf{x}_{2}$를 다음과 같이 단순곡면 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$의 방향 편미분들이라고 하자.
$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{1} := {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{1} }} & , & \mathbf{x}_{2} := {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{2} }} \end{align*} $$
- 점 $p = \mathbf{x} (a,b)$ 에서 $\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}$ 와 수직인 평면을 $p$ 에서 $\mathbf{x}$ 의 접평면tangent Plane이라 한다.
- 다음과 같이 정의된 $\mathbf{n}$ 을 $p$ 에서의 단위 노멀unit Normal이라 한다. $$ \mathbf{n}(a,b) := {{ \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} } \over { \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| }} $$
설명
곡선을 말할 때 접선을 생각했던것과 마찬가지로 곡면에서 접평면을 생각하는 것은 아주 자연스러운 일이다. $p$에서의 접평면은 $p$ 주위에서 곡면을 가장 잘 근사하는 평면이다.
단순곡면의 정의에서 $\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \ne 0$ 이므로 노멀 $\mathbf{n}$ 의 존재성은 항상 보장된다.
다음의 정리로부터, 접평면은 탄젠트 벡터들의 집합과 같으며 벡터공간이 됨을 알 수 있다. 이러한 이유로 접평면은 탄젠트 공간tangent space이라 불린다. 곡면 $M$의 점 $p$ 위에서의 탄젠트 공간을 $T_{p}M$이라 표기한다.
정리2
단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$의 점 $p = \mathbf{x}(a,b)$에서의 모든 탄젠트 벡터들의 집합은 기저가 $\left\{ \mathbf{x}_{1}(a,b), \mathbf{x}_{2}(a,b) \right\}$인 $2$차원 벡터공간이다. 또한 $p$에서의 접평면은 $\mathbb{R}^{3}$의 어떤 원점을 지나는 직선과 평행하다.
증명
점 $p$에서의 탄젠트 벡터 $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}$는 선형 독립이다. ($\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \ne \mathbf{0}$이므로) $p$에서의 모든 탄젠트 벡터들의 집합은 벡터공간이므로 이는 최소 $2$차원 이상의 벡터공간이다. 이 벡터공간이 $2$차원임을 보이려면 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$가 이를 생성한다는 것을 보이면 된다.
$\mathbf{X}$를 점 $p$에서의 탄젠트 벡터라고 하자. 그리고 $\boldsymbol{\gamma}$를 $\boldsymbol{\gamma}(0) = p, \dot{\boldsymbol{\gamma}}(0) = \mathbf{X}$인 $\mathbf{x}(U)$ 위의 곡선이라고 하자. 그리고 $\boldsymbol{\gamma}(t)$를 다음과 같이 표현하자.
$$ \boldsymbol{\gamma}(t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t) \right) $$
그러면, 연쇄법칙에 의해,
$$ \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t} = \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}}\dfrac{d \gamma^{1}}{d t} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}}\dfrac{d \gamma^{2}}{d t} = \sum_{i}\dfrac{d \gamma^{i}}{d t}\mathbf{x}_{i} $$
$$ \implies \mathbf{X} = \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t}(0) = \sum_{i}\dfrac{d \gamma^{i}}{d t}(0)\mathbf{x}_{i}(a,b) $$
임의의 탄젠트 벡터 $\mathbf{X}$가 $\left\{ \mathbf{x}_{i} \right\}$들의 선형결합으로 나타나므로, $\left\{ \mathbf{x}_{i} \right\}$는 $p$에서의 모든 탄젠트 벡터의 집합을 생성한다. 따라서 $p=\mathbf{x}(a,b)$에서의 모든 탄젠트 벡터들의 집합은 기저가 $\left\{ \mathbf{x}_{1}(a,b), \mathbf{x}_{2}(a,b) \right\}$인 $2$차원 벡터공간이다.