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m2 공간 📂확률미분방정식

m2 공간

정의 1 2

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 이 주어져 있다고 하자.

  1. F\mathcal{F} 의 서브 시그마 필드의 시퀀스 {Ft}t≥0\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0} 이 다음을 만족하면 필트레이션filtration이라 부른다. ∀s<t,Fs⊂Ft \forall s < t, \mathcal{F}_{s} \subset \mathcal{F}_{t}
  2. 확률과정 g(t,ω):[0,∞)×Ω→Rng(t,\omega) : [0,\infty) \times \Omega \to \mathbb{R}^{n} 가 모든 t≥0t \ge 0 에 에서 ω↦g(t,ω)\omega \mapsto g (t,\omega) 가 Ft\mathcal{F}_{t}-가측이면 Ft\mathcal{F}_{t}-어댑티드Ft\mathcal{F}_t-Adapted라고 한다.
  3. 구간 I:=[a,b]I := [a,b] 에 대해 다음 세 조건을 만족시키는 함수 ff 들의 집합을 m2=m2[a,b]m^{2} = m^{2} [a,b] 와 같이 나타낸다. 특히 이 II 를 이토 적분의 네츄럴 도메인natural Domain이라 부른다.
    • (i): B\mathcal{B} 가 [0,∞)[0, \infty) 의 보렐 시그마 필드 에 대해 (t,ω)↦f(t,ω)(t, \omega) \mapsto f(t, \omega) 가 B×F\mathcal{B} \times \mathcal{F}-가측이다.
    • (ii): f(t,ω)f (t,\omega) 가 Ft\mathcal{F}_{t}-어댑티드다.
    • (iii): 힐베르트 공간의 구조다. 즉, ∥f∥22([a,b])=E(∫ab∣f(t,ω)∣2dt)<∞ \left\| f \right\|_{2}^{2} \left( [a,b] \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f(t,\omega) \right|^{2} dt \right) < \infty
  • Ft\mathcal{F}_{t} 가 F\mathcal{F} 의 서브 시그마 필드라는 것은 둘 다 Ω\Omega 의 시그마 필드이되, Ft⊂F\mathcal{F}_{t} \subset \mathcal{F} 임을 의미한다.
  • ff 가 Ft\mathcal{F}_{t}-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 B∈B([0,∞))B \in \mathcal{B}([0,\infty)) 에 대해 f−1(B)∈Ftf^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{t} 라는 의미다.

설명

필트레이션이 주어져 있을 때 확률과정 ff 가 Ft\mathcal{F}_{t}-가측이라는 것은 시점 tt 까지의 역사 혹은 정보를 가지고 있다는 것으로 보아도 무방하다. 필트레이션은 점점 더 커지는 서브 시그마 필드의 시퀀스이므로, 시간이 지날수록 정보가 늘어가는 모양과 일맥상통한다.

당연하지만 m2m^{2} 공간이라는 명명은 조건 (iii)에서 보다시피 L2L^{2} 공간에서 온 것이다.

  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p25. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p116. ↩︎