📂기하학

곡면 이론에서의 좌표 변환

정의 ¹

$2$차원 유클리드 공간의 $U \subset \mathbb{R}^{2}$ 이 개집합이라고 하자. $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 전단사 함수 $f : U \to \mathbb{R}^{3}$ 와 그 역함수 $f^{-1}$ 가 모두 $C^{k}$ 함수면 좌표 변환^{coordinate transformation}이라고 한다.

설명

좌표변환의 정의는 일반 위상 수학에서 말하는 호메오멀피즘, 디피오멀피즘을 떠올리게 한다. 단지 기하학의 맥락에서 $3$차원 공간을 다루기 때문에 정의역과 공역이 특수할 뿐인걸로 알면 충분하다. 개념적으로는 곡선 이론에서의 재매개변수화에 해당하며, 직관적으로 말하자면 정의역에서 하던대로 공역에서도 미분가능성을 보장하기 위한 일대일대응으로 보면 된다.

다음의 정리는 좌표변환이 어떻게 되든 단순곡면의 정칙성이 유지됨을 말해준다.

정리

$U , V \subset \mathbb{R}^{2}$ 가 개집합이라고 하자. 단순곡면 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$ 과 좌표변환 $f : V \to U$ 에 대해 $\mathbf{y} = \mathbf{x} \circ f : V \to \mathbb{R}^{3}$ 은 $\mathbf{x}$ 와 같은 이미지를 가지는 단순곡면이다.