📂기하학

평면 단순 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 공식 유도

공식 ¹

영역 $R$ 을 둘러싼 평면 단순 폐곡선 $\alpha$ 가 반시계방향으로 돈다고 하면 $$ V (R) = \int_{\alpha} x dy = - \int_{\alpha} y dx $$

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• $V(R)$ 은 영역 $R$ 의 볼륨, 다시 말해 $R$ 의 면적을 의미한다.

증명

그린의 정리: 반시계방향을 가지고 조각마다 스무스한 단순 평면 $C^{2}$ 닫힌 곡선 $\mathcal{C}$ 가 유계 영역 $\mathcal{R}$ 을 감싸고 있다고 하자.

$\mathcal{R}$ 에서 정의된 두 함수 $P,Q$ 가 $\mathcal{R}$ 에서 미분가능하면 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{\mathcal{R}} (Q_{x} - P_{y}) dx dy $$

그린의 정리에 따라 $$ \begin{align*} \int_{\alpha} x dy =& \int_{\alpha} \left( 0 dx + x dy \right) \\ =& \iint_{R} \left( {{ \partial x } \over { \partial x }} - {{ \partial 0 } \over { \partial y }} \right) dx dy \\ =& \iint_{R} {{ \partial x } \over { \partial x }} dx dy \\ =& \iint_{R} 1 dx dy \\ =& V(R) \end{align*} $$ 또한 $$ \int_{\alpha} \left( x dy + y dx \right) = \iint_{R} \left( {{ \partial y } \over { \partial y }} - {{ \partial x } \over { \partial x }} \right) dx dy = 0 $$ 이므로 다음을 얻는다. $$ V (R) = \int_{\alpha} x dy = - \int_{\alpha} y dx $$

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