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3의 배수판정법과 9의 배수판정법의 증명 📂정수론

3의 배수판정법과 9의 배수판정법의 증명

정리

각 자리 숫자를 모두 더해 33 의 배수면 33 의 배수, 99 의 배수면 99 의 배수다.

설명

예로써

  • 81428142 는 8142=3⋅27148142=3 \cdot 2714 로 33의 배수고, 실제로 8+1+4+2=158+1+4+2=15 는 33 의 배수다.
  • 19451251945125 는 1945125=9⋅2161251945125=9 \cdot 216125 로 99의 배수고, 실제로 1+9+4+5+1+2+5=271+9+4+5+1+2+5=27 은 99 의 배수다.

배수 판정법은 현대에 와선 사실 별 의미가 없어졌지만 여전히 흥미로운 도구다. 2,4,5,82,4,5,8 의 배수는 판정하기가 아주 쉽지만 3,7,9,113, 7, 9, 11 등의 수에 대해서는 별도의 증명이 필요하다. 다행스럽게도 7을 제외하고는 대체로 증명도 이해도 쉬운 편이다.

증명

전략: 증명의 핵심은 10의 거듭제곱을 1과 99..99로 쪼개서 각 자리의 숫자만 생각하는 것이다. 본 포스트에선 증명 할 때의 편의성을 위해서 아래와 같은 표기법을 사용하도록 하겠다.

[anan−1…a1a0]=an⋅10n+an−1⋅10n−1+…+a1⋅101+a0⋅100 [a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}]= a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} +…+ a_{1} \cdot 10^{1} + a_{0} \cdot 10^{0} 예를 들어 57145714 는 다음과 같이 나타낼 수 있다. [5714]=5000+700+10+4=5⋅103+7⋅102+1⋅101+4⋅100 [5714]=5000+700+10+4=5\cdot 10^{3} +7\cdot 10^{2} +1\cdot 10^{1} +4\cdot 10^{0} 만약 증명이 이해가 안 간다면 실제로 어떤 예시를 보면서 생각해보는 게 좋다.

[anan−1…a1a0]=an⋅10n+an−1⋅10n−1+…+a1⋅101+a0⋅100=an⋅(10n−1)+an−1⋅(10n−1−1)+⋯+a1⋅(101−1)+a0+(an+an−1+…+a1)=∑k=1nak(10k−1)+∑k=0nak \begin{align*} & [a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}] \\ =& a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} +…+ a_{1} \cdot 10^{1} + a_{0} \cdot 10^{0} \\ =& a_{n} \cdot \left( 10^{n} -1 \right) + a_{n-1} \cdot \left( 10^{n-1} -1 \right) + \cdots + a_{1} \cdot \left( 10^{1} -1 \right) \\ & + a_{0} +\left( a_{n} + a_{n-1} +…+ a_{1} \right) \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} \left( 10^{k} - 1 \right) + \sum_{k=0}^{n} a_{k} \end{align*}

여기서 10n−1=[99…99]10^{n} -1=[99…99] 는 33 과 99 의 배수다(예를 들어, 103−1=99910^{3} -1=999). 따라서 ∑k=0nak\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_{k} 가 3의 배수면 [anan−1…a1a0][a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}] 도 3의 배수다. 마찬가지로 ∑k=0nak\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_{k} 가 9의 배수면 [anan−1…a1a0][a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}] 도 9의 배수다.

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