📂기하학

폐곡선의 정의

정의 ¹

정칙 곡선 $\beta (t)$ 가 폐곡선^{closed Curve}이라는 것은 $\beta$ 주기 함수인 것과 동치다.

공식: 폐곡선의 길이

$\alpha (s)$ 가 주기 $a>0$ 인 폐곡선 $\beta (t)$ 에 대한 현의 길이 재매개변수화라고 하면, $\alpha$ 는 주기 $L = \int_{0}^{a} |d \beta / dt| dt$ 를 가지는 페곡선이다. 다시 말해, 폐곡선 $\beta$ 의 길이는 $L$ 이다.

유도

$$ \begin{align*} s(t+a) =& \int_{0}^{t+a}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t \\ =& \int_{0}^{a}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t+\int_{a}^{t+a}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t \\ =& L+\int_{0}^{t}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t \\ =& L+s(t) \end{align*} $$ 정리하면 $s \left( t + a \right) = s(t) + L$ 이고, $$ \begin{align*} \alpha (s + L) =& \alpha \left( s (t) + L \right) \\ =& \alpha \left( s (t + a) \right) \\ =& \beta (t + a) \\ =& \beta (t) \\ =& \alpha \left( s(t) \right) \\ =& \alpha (s) \end{align*} $$ 따라서 $\alpha (s)$ 는 폐곡선이다. $a > 0$ 가 $$ \beta (t + a) = \beta (t) \qquad , \forall t $$ 를 만족시키는 가장 작은 양수이므로, $L>0$ 역시 $$ \alpha (s + L) = \alpha (s) \qquad , \forall s $$ 를 만족시키는 가장 작은 양수여야한다. 다시 말해, $\beta$ 의 길이는 $L$ 이다.

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