📂함수

역삼각함수

정의¹

삼각함수의 역함수를 역삼각함수라 하고, 삼각함수의 이름에 arc-를 붙여 표기한다.

$$ \begin{align*} \arcsin x &= \sin^{-1} x \qquad & \operatorname{arccsc} x &= \csc^{-1} x \\ \arccos x &= \cos^{-1} x \qquad & \operatorname{arcsec} x &= \sec^{-1} x \\ \arctan x &= \tan^{-1} x \qquad & \operatorname{arccot} x &= \cot^{-1} x \end{align*} $$

설명

물론 삼각함수 자체가 전단사가 아닌만큼, 이들의 정의역은 보통 $\displaystyle \left[ -\pi , \pi \right]$ 이나 $\displaystyle \left[ -{{\pi}\over{2}} , {{\pi}\over{2}} \right]$ 로 제한된다.

프로그래밍에서는 굳이 arc-를 쓰지 않고 아크탄젠트 함수를 atan()과 같이 a-만 붙여 정의하는 편이다. 이는 포트란에서부터 이어져 내려오는 관습이다.

정의역과 치역

$$ \begin{align*} \sin^{-1} &: [-1, 1] \to \left[ -{{\pi}\over{2}} , {{\pi}\over{2}} \right] \qquad & \csc^{-1} &: \mathbb{R} \setminus (-1, 1) \to (0, \pi/2] \cup (\pi, 3\pi/2] \\[1em] \cos^{-1} &: [-1, 1] \to [0, \pi] \qquad & \sec^{-1} &: \mathbb{R} \setminus (-1, 1) \to [0, \pi/2) \cup [\pi, 3\pi/2) \\[1em] \tan^{-1} &: \mathbb{R} \to \left( -{{\pi}\over{2}} , {{\pi}\over{2}} \right) \qquad & \cot^{-1} &: \mathbb{R} \to (0, \pi) \end{align*} $$