📂기하학

평면곡선의 탄젠트, 노멀, 곡률

정의 ¹

단위 스피드 평면 곡선 $\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{2}$ 가 주어져 있다고 하자.

1. 탄젠트 (벡터필드)를 $t (s) := \alpha^{\prime} (s)$ 와 같이 정의한다.
2. $\left\{ t(s), n(s) \right\}$ 가 $\mathbb{R}^{2}$ 의 시계반대방향 기저가 되게끔 하는 유일한 벡터필드 $n(s)$ 를 노멀 (벡터필드)라 정의한다.
3. 평면 곡률을 $k(s) := \left< t^{\prime}(s) , n (s) \right>$ 와 같이 정의한다.

기초 성질

• [1] $$\begin{align*} \alpha (s) =& \left( x(s) , y(s) \right) \\ t(s) =& \left( x^{\prime}(s) , y^{\prime}(s) \right) \\ n(s) =& \left( -y^{\prime}(s) , x^{\prime}(s) \right) \end{align*}$$

• [2] $t(s)$ 가 미분가능하면 $$\begin{align*} t^{\prime}(s) =& \left< t^{\prime}(s) , t(s) \right> t(s) + \left< t^{\prime}(s) , n(s) \right> n(s) \\ =& 0 \cdot t(s) + k(s) n(s) \\ =& k(s) n(s) \end{align*}$$

• [3] $n(s)$ 가 미분가능하면 $$n^{\prime}(s) = - k(s) t(s)$$

• [4] 프레네-세레 도구에서 $$\begin{align*} t(s) =& T(s) \\ n(s) =& \pm N (s) \qquad , \text{if } \exists N(s) \\ \left| k (s) \right| =& \kappa (s) \end{align*}$$

설명

프레네-세레 도구와 비슷하지만, 평면이니만큼 새롭게 정의된 것을 볼 수 있다.

특히 곡률의 경우 국소 곡선 이론과 달리 꼭 양수일 필요는 없다. $k > 0$ 면 곡선은 $n$ 의 방향으로 가까워지려 하고, $k<0$ 면 $n$ 에서 멀어지려고 한다.

이러한 평면 곡선을 생각하는 이유는 3차원 곡선의 전역적인 기하를 생각하려 할 때 막연히 ‘돈다’는 말을 생각할 수가 없기 때문이다.