곡선의 기본정리 증명
정리 1
$a,b$ 가 $0$ 을 포함하는 구간이라고 하자. 그리고 다음이 성립한다고 하자.
- (i): $\overline{\kappa}(s) > 0$ 이 $(a,b)$ 에서 $C^{1}$
- (ii): $\overline{\tau}(s)$ 가 $(a,b)$ 에서 연속
- (iii): $\mathbf{x}_{0}$ 가 $\mathbb{R}^{3}$ 의 고정된 한 점
- (iV): $\left\{ D,E,F \right\}$ 가 $\mathbb{R}^{3}$ 의 오른손 방향 정규직교기저
그러면 매개변수가 $\alpha (0)$로부터의 현의 길이이고, 다음을 만족하는 $C^{3}$ 정칙 곡선 $\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{3}$ 이 유일하게 존재한다: $$ \begin{align*} \alpha (0) =& \left( \mathbf{x}_{0} \right) \\ T(0) =& D \\ N(0) =& E \\ B(0) =& F \\ \kappa (s) =& \overline{\kappa} (s) \\ \tau (s) =& \overline{\tau} (s) \end{align*} $$
- $\left\{ T, N, B , \kappa, \tau \right\}$ 는 프레네-세레의 도구다.
- $C^{1}$ 은 도함수가 연속인 함수들의 집합이다.
설명
곡선의 기본정리fundamental Theorem of Curve는 $3$차원 공간에서 곡선이란 곡률과 토션에 따라 특정지을 수 있다는 강력한 정리로써, 다음과 같은 결과가 우연이 아님을 말해준다.
- $\kappa = 0$ 면 직선이다.
- $\kappa \ne 0 , \tau = 0$ 면 평면곡선이다.
- $\kappa / \tau$ 가 상수면 나선이다.
- $\tau = 0$ 이고 $\kappa > 0$ 가 상수면 원이다.
- $\tau \ne 0$ 가 상수고 $\kappa > 0$ 가 상수면 원형 나선이다.
유일성과 존재성을 보장해주는 정리라는 의미에서 기본정리라는 이름이 전혀 아깝지 않다.
증명
피카드 정리: 연립 1계 상미분 방정식의 초기값 문제에 대해서, 해가 유일하게 존재한다.
프레네-세레 공식: $\alpha$ 가 $\kappa (s) \ne 0$ 인 단위 스피드 커브라고 하면 $$ \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*} $$
$$ \mathbf{u}_{j}^{\prime} = \sum_{i=1}^{3} a_{ij} (s) u_{i} \\ \left( a_{ij} \right) = \begin{bmatrix} 0 & \overline{\kappa} & 0 \\ -\overline{\kappa} & 0 & \overline{\tau} \\ 0 & \overline{\tau} & 0 \end{bmatrix} $$
위와 같은 ODE 시스템을 생각해보면 피카드 정리에 따라 다음을 만족하는 유일해 $\mathbf{u}_{j}(s)$ 가 존재한다. $$ \begin{align*} \mathbf{u}_{1} (0) =& D \\ \mathbf{u}_{2} (0) =& E \\ \mathbf{u}_{3} (0) =& F \end{align*} $$ 이제 해가 우리에게 필요한 조건을 만족하는 것을 보이면 된다.
Step 1. $\mathbf{u}_{i}(t)$ 들은 정규직교다.
$p_{ij} := \left< \mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j} \right>$ 라 하면 $$ \begin{align*} p_{ij}^{\prime} =& \left< \mathbf{u}_{i}^{\prime}, \mathbf{u}_{j} \right> + \left< \mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j}^{\prime} \right> \\ =& \left< \sum_{k=1}^{3} a_{ki} \mathbf{u}_{k} , \mathbf{u}_{j} \right> + \left< \mathbf{u}_{i}, \sum_{k=1}^{3} a_{kj} \mathbf{u}_{k} \right> \\ =& \sum_{k=1}^{3} a_{ki} p_{kj} + \sum_{k=1}^{3} a_{kj} p_{ik} \end{align*} $$ 따라서 $p_{ij}$ 는 피카드 정리에 따라 초기값이 주어진 미분방정식 $$ p_{ij}^{\prime} = \sum_{k=1}^{3} \left( a_{ki} p_{kj} + a_{kj} p_{ik} \right) $$ 의 유일한 해고, $t = 0$ 에서 크로네커 델타 함수 $p_{ij} (0) = \delta_{ij}$ 가 된다. 한편 $$ \sum_{k=1}^{3} \left( a_{ki} \delta_{kj} + a_{kj} \delta_{} \right) = a_{ji} + a_{ij} = 0 = \delta_{ij}^{\prime} $$ 이므로 $\delta_{ij} = p_{ij}$ 그 자체가 위에서 주어진 미분정식의 유일한 해로써 존재한다. 따라서 다음을 얻는다. $$ \left< \mathbf{u}_{i} , \mathbf{u}_{j} \right> = \delta_{ij} $$
Step 2. 단위 스피드 커브 $\alpha$ 의 정칙성
$$ \alpha (s) := \mathbf{x}_{0} + \int_{0}^{s} \mathbf{u}_{1} (\sigma) d \sigma $$ $s \in (a,b)$ 에 대해 $\alpha (s)$ 를 위와 같이 두자. 우선 한 번 미분하면 미적분학의 기본정리에 따라 $$ {{ d \alpha } \over { ds }} = \mathbf{u}_{1} (s) $$ 한 번 더 미분하면 처음 생각했던 미분방정식에 따라 $$ {{ d^{2} \alpha } \over { ds^{2} }} = \mathbf{u}_{1}^{\prime} = \overline{\kappa} \mathbf{u}_{2} $$ 가정에서 $\overline{\kappa}$ 와 $\mathbf{u}_{2}$ 가 미분가능하므로 한 번 더 미분 하면 $$ {{ d^{3} \alpha } \over { ds^{3} }} = \overline{\kappa}^{\prime} \mathbf{u}_{2} + \overline{\kappa} \mathbf{u}_{2}^{\prime} = \overline{\kappa}^{\prime} \mathbf{u}_{2} + \overline{\kappa} \left( -\overline{\kappa} \mathbf{u}_{1} + \overline{\tau} \mathbf{u}_{3} \right) $$ $\overline{\kappa}$ 와 $\overline{\tau}$ 가 연속이고 $\mathbf{u}_{i}$ 모두 미분가능하므로 연속이니, ${{ d^{3} \alpha } \over { ds^{3} }}$ 역시 연속이고 따라서 $\alpha$ 는 $C^{3}$ 다. Step 1에서 이미 $$ \left| {{ d \alpha } \over { ds }} \right| = \left| \mathbf{u}_{1} \right| = 1 $$ 임을 보았으므로 $\alpha$ 는 단위 스피드 커브다.
Step 3. $\overline{\kappa} = \kappa, \overline{\tau} = \tau, \mathbf{u}_{1} = T, \mathbf{u}_{2} = N, \mathbf{u}_{3} = B$
$\alpha^{\prime} = \mathbf{u}_{1}$ 이므로 당연히 $\mathbf{u}_{1} = T$ 이다. 프레네-세레 공식에 따라 $$ \kappa N = T^{\prime} = \mathbf{u}_{1}^{\prime} = \overline{\kappa} \mathbf{u}_{2} $$ 이다. $N$ 과 $\mathbf{u}_{2}$ 가 유닛벡터고 $\overline{\kappa} > 0$ 이므로 $\overline{\kappa} = \kappa$ 이어야 하고, 따라서 $N = \mathbf{u}_{2}$ 이다. $\left\{ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right\}$ 은 $\mathbb{R}^{3}$ 의 정규직교기저이므로 $\left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right] = \pm 1$ 이고, $s = 0$ 에서 $$ \left[ D, E, F \right] = \left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right] = \pm 1 $$ 스칼라 삼중곱 $\left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right]$ 은 연속2이므로 사실은 항상
$$ \left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right] = 1 $$ 이어야 하고, 따라서 $$ B = T \times N = \mathbf{u}_{1} \times \mathbf{u}_{2} = \mathbf{u}_{3} $$ 이다. 마지막으로, 다시 한 번 더 프레네-세레 공식에 따라 $$ -\tau N = B^{\prime} = \mathbf{u}_{3}^{\prime} = - \overline{\tau} \mathbf{u}_{2} $$ 이므로 $N = \mathbf{u}_{2}$ 을 얻는다.
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