📂기하학

구면에 놓이는 곡선에 대한 공식

공식 ¹

단위 스피드 커브 $\alpha : I \to \mathbb{R}^{3}$ 이 중심 $m$ 에 반지름 $r$ 인 구면 위에 놓인다고 하자. 즉 $$ \alpha (I) \subset S_{r,m} = \left\{ x \in \mathbb{R}^{3} : \left< x - m , x - m \right> = r^{2} \right\} $$ 이라고 하면 $\kappa \ne 0$ 이다. 만약 $\tau \ne 0$ 면 $\rho = 1/\kappa$ 와 $\sigma = 1 / \tau$ 에 대해 $$ \alpha - m = - \rho N - \rho^{\prime} \sigma B $$ 이고, 반지름에 대해 정리하면 $$ r^{2} = \rho^{2} + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} $$

유도

보조정리: $n$차원 내적공간 $V$ 에서 $E = \left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 이 직교 집합이라고 하면 $E$ 는 $V$ 의 기저고, 모든 $v \in V$ 에 대해 $$ v = \sum_{k=1}^{n} \left< v , e_{k} \right> e_{k} $$

내적의 미분법: $$\left< f, g \right>^{\prime} = \left< f^{\prime}, g \right> + \left< f, g^{\prime} \right>$$

프레네-세레 공식: $\alpha$ 가 $\kappa (s) \ne 0$ 인 단위 스피드 커브라고 하면 $$ \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*} $$

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$$ \left< \alpha (s) - m , \alpha (s) - m \right> = r^{2} $$ 미분하면 $r^{2}$ 가 상수고 $T = \alpha^{\prime}$ 이므로 $$ \begin{equation} 0 = 2 \left< T , \alpha (s) - m \right> \label{1} \end{equation} $$ 양변을 $2$ 로 나눈 후 한 번 더 미분하면 $\alpha$ 가 단위 스피드 커브고, 프레네-세레 공식 $T^{\prime} = \kappa N$ 에 따라 $$ \begin{align*} 0 =& \left< T , \alpha (s) - m \right>^{\prime} \\ =& \left< T^{\prime} , \alpha (s) - m \right> + \left< T ,T \right> \\ =& \left< \kappa N , \alpha (s) - m \right> + 1 \end{align*} $$ 정리하면 $$ \kappa \left< N, \alpha (s) - m \right> = -1 $$ $\rho = 1 / \kappa$ 에 대해 나타내면 $$ \begin{equation} \left< N, \alpha (s) - m \right> = - {{ 1 } \over { \kappa }} = - \rho \label{2} \end{equation} $$ 보조정리에 따라 $$ \begin{align*} & \alpha (s) - m \\ =& \left< \alpha (s) - m , T \right> T + \left< \alpha (s) - m , N \right> N + \left< \alpha (s) - m , B \right> B & \\ =& 0 - \rho N + \left< \alpha (s) - m , B \right> B & \because (1), (2) \end{align*} $$ 이제 $\left< \alpha (s) - m , B \right>$ 만 찾으면 된다. $\eqref{2}$ 의 양변을 미분하면 $$ \begin{align*} - \rho^{\prime} =& \left< N , \alpha (s) - m \right>^{\prime} \\ =& \left< N^{\prime} , \alpha (s) - m \right> + \left< N, T \right> \\ =& \left< -\kappa T + \tau B , \alpha (s) - m \right> + 0 \\ =& \tau \left< B , \alpha (s) - m \right> \end{align*} $$ $\sigma = 1/\tau$ 에 대해 나타내면 $$ \left< \alpha (s) - m , B \right> = - {{ \rho^{\prime} } \over { \tau }} = - \sigma \rho^{\prime} $$ 마지막으로 다음을 얻는다. $$ \alpha (s) - m = - \rho N - \sigma \rho^{\prime} B $$

$r^{2}$ 에 대한 공식은 다음과 같이 유도된다. $$ \begin{align*} r^{2} =& \left< \alpha (s) - m , \alpha (s) - m \right> \\ =& \left< -\rho N - \rho^{\prime} \sigma B , -\rho N - \rho^{\prime} \sigma B \right> \\ =& \rho^{2} \left< N, N \right>^{2} + 2 \rho \rho^{\prime} \sigma \left< N, B \right> + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} \left< B, B \right>^{2} \\ =& \rho^{2} \cdot 1 + 2 \rho \rho^{\prime} \sigma \cdot 0 + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} \\ =& \rho^{2} + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} \end{align*} $$

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