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복소함수의 극한 📂복소해석

복소함수의 극한

정의 1

함수 f:C→Cf : \mathbb{C} \to \mathbb{C} 가 오픈셋 A⊂CA \subset \mathbb{C} 에서 정의된 복소함수 f:A→Cf : A \to \mathbb{C} 이고 α∈A‾\alpha \in \overline{A} 라 하자. f(z)f(z) 가 z→αz \to \alpha 일 때 극한limit ll 로 수렴한다는 것은 모든 ε>0\varepsilon > 0 에 대해 0<∣z−α∣<δ  ⟹  ∣f(z)−l∣<ε 0 < \left| z - \alpha \right| < \delta \implies \left| f(z) - l \right| < \varepsilon 를 만족시키는 δ>0\delta > 0 가 존재한다는 것과 동치고, 다음과 같이 나타낸다. lim⁡z→αf(z)=l \lim_{z \to \alpha} f(z) = l

성질

lim⁡z→αf(z)\lim_{z \to \alpha} f(z) 와 lim⁡z→αg(z)\lim_{z \to \alpha} g(z) 가 존재한다고 하자.

  • 유일성: lim⁡z→αf(z)\displaystyle \lim_{z \to \alpha} f(z) 가 존재한다면, 유일하다.
  • 켤레: lim⁡z→αz‾=α‾\lim_{z \to \alpha} \overline{z} = \overline{\alpha}
  • 상수곱: 모든 k∈Ck \in \mathbb{C} 에 대해 lim⁡z→αkf(z)=klim⁡z→αf(z) \lim_{z \to \alpha} k f(z) = k \lim_{z \to \alpha} f(z)
  • 덧셈: lim⁡z→α[f(z)+g(z)]=lim⁡z→αf(z)+lim⁡z→αg(z)\lim_{z \to \alpha} \left[ f(z) + g(z) \right] = \lim_{z \to \alpha} f(z) + \lim_{z \to \alpha} g(z)
  • 곱셈: lim⁡z→αf(z)g(z)=lim⁡z→αf(z)lim⁡z→αg(z)\lim_{z \to \alpha} f(z) g(z) = \lim_{z \to \alpha} f(z) \lim_{z \to \alpha} g(z)
  • 몫: lim⁡z→αg(z)≠0\displaystyle \lim_{z \to \alpha} g(z) \ne 0 일때만, lim⁡z→αf(x)g(x)=lim⁡z→αf(z)lim⁡z→αg(z)\lim_{z \to \alpha} {{ f(x) } \over { g(x) }} = {{ \lim_{z \to \alpha} f(z) } \over { \lim_{z \to \alpha} g(z) }}

설명

정의에서 α\alpha 가 딱히 ff 의 정의역에 속할 필요는 없었고, l=f(α)l = f(\alpha) 라고 한 적도 없는 것에 주의하라.

실함수real Valued function과 복소함수complex Valued function의 차이는 방향이다. R\mathbb{R} 에서 x→ax \to a 이라는 것은 aa 의 양옆에서 다가오는 느낌이지만, C\mathbb{C} 에서 z→αz \to \alpha 는 복소평면 상에서 전방위로 다가오는 느낌이다.

  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p37. ↩︎