📂복소해석

복소함수의 극한

정의 ¹

함수 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 오픈셋 $A \subset \mathbb{C}$ 에서 정의된 복소함수 $f : A \to \mathbb{C}$ 이고 $\alpha \in \overline{A}$ 라 하자. $f(z)$ 가 $z \to \alpha$ 일 때 극한^limit $l$ 로 수렴한다는 것은 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$ 0 < \left| z - \alpha \right| < \delta \implies \left| f(z) - l \right| < \varepsilon $$ 를 만족시키는 $\delta > 0$ 가 존재한다는 것과 동치고, 다음과 같이 나타낸다. $$ \lim_{z \to \alpha} f(z) = l $$

성질

$\lim_{z \to \alpha} f(z)$ 와 $\lim_{z \to \alpha} g(z)$ 가 존재한다고 하자.

• 유일성: $\displaystyle \lim_{z \to \alpha} f(z)$ 가 존재한다면, 유일하다.
• 켤레: $$\lim_{z \to \alpha} \overline{z} = \overline{\alpha}$$
• 상수곱: 모든 $k \in \mathbb{C}$ 에 대해 $$ \lim_{z \to \alpha} k f(z) = k \lim_{z \to \alpha} f(z) $$
• 덧셈: $$\lim_{z \to \alpha} \left[ f(z) + g(z) \right] = \lim_{z \to \alpha} f(z) + \lim_{z \to \alpha} g(z)$$
• 곱셈: $$\lim_{z \to \alpha} f(z) g(z) = \lim_{z \to \alpha} f(z) \lim_{z \to \alpha} g(z)$$
• 몫: $\displaystyle \lim_{z \to \alpha} g(z) \ne 0$ 일때만, $$\lim_{z \to \alpha} {{ f(x) } \over { g(x) }} = {{ \lim_{z \to \alpha} f(z) } \over { \lim_{z \to \alpha} g(z) }}$$

설명

정의에서 $\alpha$ 가 딱히 $f$ 의 정의역에 속할 필요는 없었고, $l = f(\alpha)$ 라고 한 적도 없는 것에 주의하라.

실함수^{real Valued function}과 복소함수^{complex Valued function}의 차이는 방향이다. $\mathbb{R}$ 에서 $x \to a$ 이라는 것은 $a$ 의 양옆에서 다가오는 느낌이지만, $\mathbb{C}$ 에서 $z \to \alpha$ 는 복소평면 상에서 전방위로 다가오는 느낌이다.