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3차원 유클리드 공간에서 곡선이 평면 속에 놓이는 동치조건 📂기하학

3차원 유클리드 공간에서 곡선이 평면 속에 놓이는 동치조건

정리 1

κ≠0\kappa \ne 0 인 단위 스피드 커브 α:I→R3\alpha : I \to \mathbb{R}^{3} 에 대해 다음 세가지는 동치다.

  • (a): α\alpha 는 평면에 놓이는 커브다.
  • (b): BB 는 상수다.
  • (c): τ=0\tau = 0 이다.

설명

이는 프레네-세레 공식의 따름 정리로써, 토션이 왜 τ:=<B′,N>\tau := \left< B^{\prime}, N \right> 과 같이 기괴하게 정의되었는지 알 수 있다.

증명

프레네-세레 공식: α\alpha 가 κ(s)≠0\kappa (s) \ne 0 인 단위 스피드 커브라고 하면 T′(s)=κ(s)N(s)N′(s)=−κ(s)T(s)+τ(s)B(s)B′(s)=−τ(s)N(s) \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*}

Part 1. (b)  ⟹  (c)(b) \implies (c)

BB 가 상수니 B′=0B^{\prime} = \mathbf{0} 이고, 프레네-세레 공식에 따라 τ=−<B′,N>=0\tau = - \left< B^{\prime} , N \right> = \mathbf{0} 이다.

Part 2. (c)  ⟹  (b)(c) \implies (b)

τ=0\tau = \mathbf{0} 이면 프레네-세레 공식에 따라 B′=−τN=0B^{\prime} = -\tau N = \mathbf{0} 이다.

Part 3. (a)  ⟹  (b)(a) \implies (b)

편의를 위해 α\alpha 가 xyxy-평면 위에 있어 α(s)=(x(s),y(s),0)\alpha (s) = \left( x(s) , y(s) , 0 \right) 와 같이 나타난다고 하면 T=α′(s)=(x′,y′,0)N=T′(s)κ(s)=1κ(x′′,y′′,0) T = \alpha^{\prime} (s) = \left( x^{\prime} , y^{\prime}, 0 \right) \\ N = {{ T^{\prime}(s) } \over { \kappa (s) }} = {{ 1 } \over { \kappa }} \left( x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime} , 0 \right) 이므로 B=T×N=1κ[e1e2e3x′y′0x′′y′′0]=1κ(0,0,κ)=(0,0,±1) B = T \times N = {{ 1 } \over { \kappa }} \begin{bmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ x^{\prime} & y^{\prime} & 0 \\ x^{\prime \prime} & y^{\prime \prime} & 0 \end{bmatrix} = {{ 1 } \over { \kappa }} ( 0, 0, \kappa ) = (0 , 0, \pm 1) 즉 BB 는 상수다. 물론 이는 xyxy-평면에서 보인 것이나, 단지 기저를 치환하는 것으로 모든 평면에 일반화할 수 있다. 여기서 κ=∣x′y′′−x′′y′∣\kappa = \left| x^{\prime} y^{\prime \prime} - x^{\prime \prime} y^{\prime} \right| 는 계산을 통해 얻는다2.

Part 4. (b)  ⟹  (a)(b) \implies (a)

어떤 v∈R3v \in \mathbb{R}^{3} 에 대해 다음이 성립함을 보이면 된다. <α(s)−α(s0),v>=0 \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , v \right> = 0 v=Bv = B 에 대해 <α(s)−α(s0),B>′=<α′(s),B>+<α(s)−α(s0),B′>=<T,B>+<α(s)−α(s0),0>=0+0 \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B \right>^{\prime} = \left< \alpha^{\prime}(s) , B \right> + \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B^{\prime} \right> \\ = \left< T , B \right> + \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , 0 \right> \\ = 0 + 0 따라서 <α(s)−α(s0),B>\left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B \right> 는 모든 s∈Is \in I 에 대해 값이 변하지 않고, 구체적으로 s=s0s = s_{0} 이라 두면 <α(s)−α(s0),B>=0 \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B \right> = 0

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  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p31. ↩︎

  2. https://math.stackexchange.com/a/3619498/459895 ↩︎