📂동역학

동역학계의 엄밀한 정의

정의 ¹

(상태) 공간 $X$ 와 시점 $t \in T$ 에 대해 오퍼레이터 $\varphi^{t}$ 를 플로우^flow라 한다. 플로우의 집합 $F := \left\{ \varphi^{t} \right\}_{t \in T}$ 이 함수합성 연산 $\circ$ 에 대해 $\left( F , \circ \right)$ 가 다음을 만족시키는 모노이드면 트리플 $\left( T, X, \varphi^{t} \right)$ 를 동역학계^{dynamic system}라 한다. $$ \begin{align*} \varphi^{0} =& \text{id} \\ \varphi^{t+s} =& \varphi^{t} \circ \varphi^{s} \end{align*} $$

설명

주로 $T = \mathbb{Z}$ 일 때는 맵, $T = \mathbb{R}$ 일 때는 미분방정식으로 표현될 것이다. 이는 바꿔 말해 동역학계가 반드시 맵과 미분방정식으로만 정의되는 것은 아님을 의미한다.

동역학계는 어떤 시점의 스테이트^state가 과거의 스테이트로 표현되는 시스템이라고 많이들 설명하는데, 이는 전혀 엄밀하지 않을 뿐만 아니라 사실 그다지 직관적이지도 않다. 수학적인 표현 없이 개념을 파악하기 위해서는 그냥 예로써 맵으로 표현되는 동역학계이나 미분방정식으로 표현되는 동역학계를 공부하는 게 낫고, 수학다운 표현을 좋아한다면 위의 정의가 마음에 들 것이다.

같이보기

• 맵으로 표현되는 동역학계
• 미분방정식으로 표현되는 동역학계
• 동역학계의 엄밀한 정의