맥스웰 방정식으로부터 전자기파빛의 속도 구하기
공식
진공에서의 맥스웰 방정식
$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\[1em] \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\[1em] \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align} $$
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} $$
3차원 파동방정식
$$ \nabla ^2 f = \frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 f}{\partial t^2} $$
유도
맥스웰 방정식으로부터 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$에 관한 파동 방정식 꼴을 이끌어내는 것이 목적이다. $(3)$에 컬$(\nabla \times)$을 취해주면
$$ \begin{align*} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) &= \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) \\ &= -\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ &= -\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \end{align*} $$
3번째 등호는 $(4)$에 의해 성립한다. 마찬가지로 $(4)$에 컬을 취해주면
$$ \begin{align*} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) &= \nabla \times \left( \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ &= \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}) \\ &= -\mu_{0}\epsilon_{0} \frac {\partial ^2 \mathbf{B} }{\partial t^2} \end{align*} $$
그리고 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}$이므로
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $$
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B})-\nabla^2\mathbf{B}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $$
마지막으로 $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$, $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$이므로
$$ \nabla ^2 \mathbf{E} = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $$
$$ \nabla ^2 \mathbf{B} = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $$
이제 맥스웰 방정식에서 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$가 서로 떨어졌다. 살펴보면 3차원 파동방정식과 같은 형태임을 알 수 있다. 즉 전자기파의 속도는 $\dfrac{1}{v^2}=\mu_{0}\epsilon_{0}$에 의해 $v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}=3.00\times 10^8 m/s$이다. 놀랍게도 이는 빛의 속도와 같다. 즉, 빛은 전자기파의 일종이라고 추측할 수 있고 그 속도는 상수이다.