📂기하학

재매개변수화

정의 ¹

$k \in \mathbb{N}$ 이고 곡선 $\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{3}$ 가 주어져 있다고 하자. 전단사 $g: (c,d) \to (a,b)$ 가 $g , g^{-1} \in C^{k}$ 를 만족하면 $g$ 를 $\alpha$ 의 재매개변수화^{reparametrization}라고 한다.

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• $C^{k}$ 는 $k$ 번 미분가능하고 그 도함수가 연속함수인 함수들의 집합이다.

설명

발음하기 어려운 건 영어로 읽어도 [리파라메트라이제이션]으로, 단어 자체가 길어서 어쩔 수 없다.

사실 말을 좀 거창하게 붙여놔서 그렇지 곡선 $\alpha$ 를 $\alpha (t)$ 와 같이 매개변수로 나타낸 것처럼 $\beta (t) = \alpha \left( g (t) \right)$ 를 생각하는 것 자체가 재매개변수화다. 수학적으로 명쾌한 부분은 그것을 그냥 생각, 개념으로 두지 않고 함수라는 정의로 묶어 객체화 시킨 점이다.

정칙성 보존

재매개변수화의 용도는 $g$ 가 전단사라는 점에서 쉽게 상상해볼 수 있다. 다루기 어려운 곡선을 우리가 적기 쉽고 다루기 편한 곡선으로 바꿔 여러가지 트릭을 쓰고, $g^{-1}$ 를 통해 원래대로 되돌리기 위함이다. 다시 말해, 변수 치환이다.

미분의 연쇄 법칙에 따르면 매개변수 $g(r) = t \in (a,b)$, $r \in (c,d)$ 에 대해 다음을 얻는다. $$ {{ d \beta } \over { d r }} = \left( {{ d \alpha } \over { d t }} \right) \left( {{ d g } \over { d r }} \right) $$ 마찬가지로 연쇄법칙에 따르면 $g \left( g^{-1} (t) \right) = t$ 의 양변을 $t$ 로 미분해서 $$ \left( {{ d g } \over { d r }} \right) \left( {{ d g^{-1} } \over { d t }} \right) = 1 $$ 이므로 $\dfrac{dg}{dr} \ne 0$ 임을 알 수 있다. 여기서 만약 $\alpha$ 가 정칙 곡선이라면 $\dfrac{d\alpha}{dt} \ne \mathbf{0}$ 이므로 반드시 $\dfrac{d\beta}{dr} \ne \mathbf{0}$ 를 보장할 수 있고, 재매개변수화는 곡선의 정칙성^regularity을 보존함을 알 수 있다.

보조정리

재매개변수화 $g: (c,d) \to (a,b)$ 에 대해 $\beta = \alpha \circ g$ 라고 하자. 만약 $t_{0} = g \left( r_{0} \right)$ 면, $t_{0}$ 에서 $\alpha$ 의 탄젠트 벡터필드 $T$ 와 $r_{0}$ 에서 $\beta$ 의 탄젠트 벡터필드 $S$ 는 다음을 만족시킨다. $$ S = \pm T $$ 특히 $g$ 가 증가함수면 $S=T$, 감소함수면 $S = -T$ 다.

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• $T = {{ d \alpha / d t } \over { \left| d \alpha / d t \right| }}$ 를 $\alpha$ 의 탄젠트 벡터필드 $T$ 라고 한다.

증명

$$ \begin{align*} S =& {{ {{ d \beta } \over { dr }} } \over { \left| {{ d \beta } \over { dr }} \right| }} \\ =& {{ {{ d \alpha } \over { dt }} } \over { \left| {{ d \alpha } \over { dt }} \right| }} {{ {{ d g } \over { dr }} } \over { \left| {{ d g } \over { dr }} \right| }} \\ =& T \cdot ( \pm 1) \\ =& \pm T \end{align*} $$

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