📂기하학

곡선의 정의

정의 ¹

1. 사상 $\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{3}$ 을 곡선^curve이라고 한다.
2. 곡선에서 $\alpha^{\prime} = \dfrac{d \alpha}{d t} = \mathbf{0}$ 인 점 $t = t_{0}$ 을 특이점^{singular point}라 한다.
3. 어떤 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 모든 $t \in (a,b)$ 에서 $\displaystyle {{ d \alpha } \over { d t }} \ne \mathbf{0}$ 인 곡선 $\alpha \in C^{k}$ 을 정칙 곡선^{regular Curve}이라 한다. 다시 말해, 정칙 곡선은 특이점이 없는 곡선이다.
4. 곡선 $\alpha$의 $t=t_{0}$에서의 미분계수 $\alpha^{\prime}(t_{0})$를 $t = t_{0}$일 때의 $\alpha$의 속도(벡터)^{velocity vector}라고 하고, $\alpha$의 도함수 $\alpha^{\prime}$를 $\alpha$의 속도 벡터필드^{velocity vector field}라고 한다. 따라서 정칙 곡선은 속도가 $\mathbf{0}$이 되지 않는 곡선을 말하며, 물리적으로 봤을 때 진행 반향이 절대 바뀌지 않는 것을 의미한다.
5. $t = t_{0}$일 때 $\alpha$의 속도의 크기 $\left|\alpha^{\prime}(t_{0}) \right|$를 속력^speed이라고 한다.
6. $\left| \alpha^{\prime} \right| = 1$ 인 곡선을 $\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{3}$ 를 단위 속력 곡선^{unit Speed Vector}이라 한다.

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• $C^{k}$ 는 $k$ 번 미분가능하고 그 도함수가 연속함수인 함수들의 집합이다.

설명

$$ \alpha (t) := \left( \alpha_{1} (t) , \alpha_{2} (t) , \alpha_{3} (t) \right) $$

기하학에서 다루고 싶은 대상은 도형이며, 정의에서는 그 도형이라는 것을 매개변수 $t$ 에 대한 함수로 나타냈음에 주목하라. 이로써 우리는 수학의 많은 툴을 사용해 도형을 연구할 수 있게 된 것이며, 특히 미분기하학에서는 미적분을 많이 사용할 것이다.

특이점은 쉽게 말해 꺾여있거나 멈춰버리는 점을 말한다. 꺾여있는 점에서는 보기에 따라 두가지 방향이 나올 수 있다. 이런 점은 다루기 어렵기 때문에 학부 수준의 미분기하학에서는 다루지 않는다. ‘멈추는 점’은 예시에서 설명한다.

어떤 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\alpha \in C^{k}$ 이라는 것은 적어도 한 번은 미분가능하다는 의미가 강하며, 실제로 몇 번이나 미분가능한지는 별로 중요하지 않다. 보통 $k=1$ 만 돼도 그냥 스무스^smooth하다고 말한다.

예시

직선

$$ l(t) := \left( t, t, t \right) $$ 정의에 따르면 위와 같은 직선 $l : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{3}$ 은 곡선이 아닐 이유가 전혀 없다. 한국어에서는 굽을 곡曲이라는 한자 때문에 다소 뉘앙스가 헷갈리게 되니 그냥 영어발음대로 커브라고 읽는 편이 더 나을 수 있다.

나선

$$ \zeta (t) := \left( \cos t , \sin t , t \right) $$

$0 \to t \to \infty$ 에 따라 나선은 다음과 같이 그려진다.

비정칙 곡선

$$ \beta (t) := \left( t^{2} , t^{3} , t^{4} \right) $$ 위 곡선 $\beta$ 는 미분해보면 $$ \beta^{\prime} (t) := \left( 2t , 3t^{2} , 4t^{3} \right) $$ 이므로 $t = 0$ 에서 $\displaystyle {{ d \beta } \over { d t }} (0) = \mathbf{0}$ 이다. 이 특이점은 꺾인 것은 아니지만 $t$ 를 따라 가다가 $t=0$ 에서 말 그대로 멈춰버린다. 따라서 $\beta$ 의 정의역이 $\mathbb{R}$ 이면 정칙 곡선이 아니다. 물론 정의역이 $0$ 을 포함하지 않는 구간, 예로써 $(0,\infty)$ 라면 정칙 곡선이다. 곡선들은 정의역에 따라 정칙 곡선일수도, 아닐수도 있음에 주의하자.

코드

다음은 줄리아로 나선 예시에서 본 움짤을 찌는 코드다.

using Plots

ζ(t) = (cos(t), sin(t), t)

anim = @animate for T ∈ 0.1:0.1:10
    t = 0:0.1:(T*π)
    helix = plot(ζ.(t), camera = (45,45), legend = :none)
    xlims!(-2,2); ylims!(-2,2); zlims!(0,40)
end
gif(anim, "helix.gif")