📂동역학

수학에서의 질량 작용 법칙

법칙 ¹

화학반응의 정도는 반응에 관여하는 각종 분자수에 같은 힘을 야기하는 물질의 농도에 비례한다.

설명 ²

수리적 모델링에서 질량 작용 법칙^{law of Mass Action}은 법칙이라는 이름이 무색하지 않을만큼 일상적으로 사용된다. 가령 두가지 물질 $A$, $B$ 가 만나 $k$ 만큼의 반응속도로 작용해 $C$ 가 생겨난다고 생각해보자. $$ A + B \overset{k}{\to} C $$ 질량 작용 법칙에 따르면 $C$ 의 증가량은 그 순간순간 $A$ 와 $B$ 에 비례해야한다. 이를 미분방정식으로 적으면 $$ {{ d [C] } \over { dt }} = k [A] [B] $$ 과 같이 나타낼 수 있을 것이다. 반응은 $A$ 와 $B$ 가 많을수록 많이 일어나겠지만 둘 중 한쪽이 너무 적으면 그 양도 줄어드는 것이 자연스럽게 반영되어있다.

$$ A + B \overset{k_{+}}{\to} C \\ A + B \underset{k_{-}}{\leftarrow} C $$ 이제 위와 같이 $k_{+}$ 로 합성되는 반응의 역반응으로써 $k_{-}$ 로 분해되는 상황을 생각해보자. $$ {{ d [C] } \over { dt }} = - k_{-} [C] + k_{+} [A] [B] $$ 이렇게 시스템이 미분방정식으로 표현이 되었다면 평형점^equilibrium을 쉽게 계산할 수 있다. 열역학적 평형일 때 시스템에서 $C$ 의 양은 변하지 않는 것으로 보일 것이므로, 변화량 ${{ d [C] } \over { dt }}$ 이 $0$ 이라 두고 식을 정리해보면 $$ {{ k_{-} } \over { k_{+} }} = {{ [A][B] } \over { [C] }} $$ 즉 $A,B,C$ 의 양은 위 방정식을 만족시킬 때 더 이상 변하지 않게 된다. 평형점은 정확히 동역학적(수학적)으로 고정점이며, 이러한 논의에서 우리는 물리학이나 생화학적 현상을 묘사하는 시스템에 대해 동역학의 툴을 적용시킬 수 있음을 확인했다.

일반화 ³

이름도 ‘질량 작용 법칙’이고 설명도 화학 반응을 들긴 했지만 사실 수리적인 모델링을 하는 입장에서는 ‘농도’나 ‘양’을 추상적으로 받아들여도 무관하다. 예로써 다음은 아주 기초적인 SIR 모델의 시스템을 나타낸다.

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*} $$

이 시스템에서는 질병에 걸릴 수 있는 개체의 수인 $S$ 와 감염자의 수인 $I$ 가 전염률 $\beta$ 로 반응하고 있는 것으로 볼 수 있다.