유클리드 공간이란
정의
자연수 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 실수 집합 $\mathbb{R}$ 의 데카르트 곱 $\mathbb{R}^{n}$ 을 유클리드 공간 이라고 한다.
$$ \mathbb{R}^{n} = \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R} $$
- $\mathbb{R}^{1}$ 을 실수 공간 혹은 수직선 이라고 한다.
- $\mathbb{R}^{2}$ 을 평면 이라고 한다.
- $\mathbb{R}^{3}$ 을 $3$차원 공간 이라고 한다.
이때 $\mathbb{N} := \left\{ 1, 2, 3, \cdots \right\}$은 자연수를 모두 모아놓은 집합을 의미한다. $\mathbb{R}$ 은 실수를 모두 모아놓은 집합을 의미한다.
설명
유클리드 공간은 기하학 원론의 저자인 유클리드 의 이름을 따온 공간으로, 우리가 살아가고 있는 $3$차원 공간을 포함해서 평면, 수직선은 물론 그 이상의 다차원 공간까지 표현하는 공간이다.
우리의 삶과 가까이 있다보니 많은 이론에서 전체 공간으로써 유클리드 공간을 가정하는 경우가 많다. 물론 유클리드 공간만으로는 깊고 심오한 이공계의 이론들을 모두 설명할 수 없으며, 하루가 멀다하고 유튜브에 서식하는 유사수학자, 유사과학자들의 장난감이 되기도 한다.
다차원으로의 확장은 딱히 시공간이라서 $\mathbb{R}^{1+3}$ 이라거나 끈이론에서 $\mathbb{R}^{11}$ 이 된다고 하는 요란한 목적이 없어도 반드시 필요한 것이다. 대표적으로 통계학에서의 응용도 있고, 공간 자체는 $3$차원이라도 속도와 가속도를 도입하기 위해 $9$차원이 필요할 수도 있는 것이다. 만약 이 글을 보고 있는 독자의 주전공이 공학, 깊어도 실용적인 물리학까지만 공부하고 싶다면 사실 일반적인 유클리드 공간을 벗어날 일이 없을지도 모른다. 수식과 증명 없이 낭만을 노래하는 교양서를 보고 환상을 키워도 어쩔 수 없는 일이다. 하지만 그 너머 수학과 물리의 세계에 관심을 가지고 있다면 유클리드 공간을 발판 정도로 보고 하루 빨리 익숙해져야 할 것이다.