📂복소해석

복소수의 정의

정의 ¹

1. 이차방정식 $x^{2} +1 = 0$ 의 해 $x = \sqrt{-1}$ 을 허수^{imaginary number}라 한다.
2. 두 실수 $x,y \in \mathbb{R}$ 에 대해 $z = x + iy$ 꼴의 수를 복소수^{complex number}라 하고 $(x,y)$ 와 같이 나타내기도 한다. 이 때 $\operatorname{Re} (z) = x$ 와 $\operatorname{Im} (z) = y$ 를 각각 $z$ 의 실수부^{real Part}와 허수부^{imaginary Part}라 한다.
3. 모든 복소수의 집합을 $\mathbb{C}$ 로 표기한다. 두 복소수 $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ 가 같다^equal는 것은 다음과 같이 실수부와 허수부가 각각 같다는 것이다. $$\operatorname{Re} z_{1} = \operatorname{Re} z_{2} \\ \operatorname{Im} z_{1} = \operatorname{Im} z_{2}$$
4. 복소수의 크기를 모듈러스^modulus라 부르며, 다음과 같이 정의된다. $$| z | := \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

설명

• 허수부 $\operatorname{Im} z = y \in \mathbb{R}$ 에는 허수 $i$ 가 곱해지지 않았음에 주의하자.
• 물리학, 공학에서는 $i$ 가 전류를 나타내기 때문에 허수를 $j := \sqrt{-1}$ 로 나타내기도 한다.
• 교과과정에서는 복소수를 나타낼 때 흔히 $1 + 2i$ 와 같이 $i$ 를 수 뒤에 적지만, 수학에 가까운 문헌일수록 $1 + i2$ 와 같이 $i$ 를 수 앞에 적는 경향이 강해진다. 여기에는 더 이상 $i$ 를 문자로 보지 않고 다른 수들과 다를 바 없이 동등한 수로써 취급하겠다는 의도가 있으며, 쓰다보면 $i$ 를 기준으로 앞이 실수부, 뒤가 허수부로 구분되어 실용적으로도 유용한 표기임을 알 수 있다.

역사

역사적으로 허수는 1545년, 확률론의 창시자기도 한 카르다노^cardano의 저서 아르스 마그나^{ars Magna}에서 처음으로 소개되었다. 실제로 수학계에서 완전히 받아들여진 것은 19세기쯤에서나 되어서였다. 가우스^Gauss는 $i$ 에 상상속의 수^{imaginary number}라는 현재의 이름을 지어주고 대수학의 기본정리의 증명에 사용했다. 기호 $i$ 자체는 오일러^euler의 1777년 회고록에서 등장한다.

복소평면 ²

$$\mathbb{C} \ni x + iy = (x,y) \in \mathbb{R}^{2}$$

정의에서 짐작할 수 있듯 복소수 $\mathbb{C}$ 는 $2$차원 평면 $\mathbb{R}^{2}$ 와 같이 볼 수 있고, 실제로도 같은 논의를 대수적으로 이끌어낼 수 있다. 기호 그대로 $x$ 는 $x$ 축, $y$ 는 $y$ 축을 나타낸다고 보면 이제 이 둘은 실수축, 허수축을 의미하게 될 것이다. 피타고라스의 정리를 생각해봤을 때 복소수의 크기 모듈러스가 $| z | := \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 와 같이 정의되는 것은 아주 상식적이다.

체 공리

$$\begin{align*} z_{1} + z_{2} =& \left( \operatorname{Re} z_{1} + \operatorname{Re} z_{2} , \operatorname{Im} z_{1} + \operatorname{Im} z_{2} \right) \\ z_{1} \cdot z_{2} =& \left( \operatorname{Re} z_{1} \operatorname{Re} z_{2} - \operatorname{Im} z_{1} \operatorname{Im} z_{2} , \operatorname{Re} z_{1} \operatorname{Im} z_{2} - \operatorname{Im} z_{1} \operatorname{Re} z_{2} \right) \end{align*}$$

두 복소수 $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해 이항연산 덧셈^sum $+: \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}$ 과 곱셈^product $\cdot: \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}$ 을 위와 같이 정의하면 $\mathbb{C}$ 는 대수적으로 체^field가 되며, $\mathbb{C}$ 을 복소수체^{complex field}라고 부른다. 해석개론에서의 실수체 $\mathbb{R}$ 과 마찬가지로 체 공리가 모두 성립한다.