푸앙카레 맵
정의 1
유클리드 공간 와 오픈 셋 에서 연속인 함수 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. 그 플로우를 와 같이 나타내고 벡터필드를 가로지르는 차원 곡면 를 생각해보자. 오픈 셋 에 대해 다음과 같은 맵 를 푸앙카레 맵Poincaré map이라 한다. 여기서 는 에서 출발해 다시 로 돌아오는 시간을 의미한다.
- 의 모든 점에서 이면 가 벡터필드를 가로지른다transverse고 한다.
설명
로 인해 상에서 그 플로우 는 그 중간과정을 생략하고 를 떠돌게 된다.
덴마에서 원거리 공격을 막아내는 평면구속2과 비슷한 이미지다. 푸앙카레 맵은 벡터필드로 표현된 시스템을 로 한 차원 내린 맵이다. 다른 것도 아니고 차원이 하나 사라졌으니 소실되는 정보도 많겠지만, 전체적인 양상에 관심을 둔다면 어떤 문제에서든 사용해봄직하다.
같이보기
- 고정점의 쌍곡성의 정의를 이용해 리미트사이클의 쌍곡성을 정의할 때 푸앙카레 맵이 쓰인다.
Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition): p123. ↩︎
https://comic.naver.com/webtoon/detail.nhn?titleId=119874&no=119 ↩︎