📂동역학

종간 전염 모델: 3개 집단 간의 질병 전파

개요

종간 장벽^{species Barrier}이란 감염원이 종래의 숙주에서 다른 종에 전염되기 어려운 현상을 말한다. 이러한 종간 장벽을 뛰어넘어 병이 전염되는 것을 종간 전염^{cross-species Transmission}이라 부르는데, 이를 수학적으로 모델링한 호스트-벡터-호스트 모델^{host-vector-host model}을 소개한다.

모델 ¹

$$ \begin{align*} \\ {{d I_{1}} \over {d t}} =& \beta_{12} I_{2} S_{1} - \gamma I_{1} \\ {{d I_{2}} \over {d t}} =& \left( \beta_{21} I_{1} + \beta_{23} I_{3} \right) S_{2} - \gamma I_{2} \\ {{d I_{3}} \over {d t}} =& \beta_{32} I_{2} S_{3} - \gamma I_{3} \end{align*} $$ 단, $k=1,2,3$ 에 대해 $S_{k} + I_{k} = 1$ 이다.

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• $S_{k}$ 에 대한 미분방정식은 굳이 쓰지 않고 생략했으나, 원래는 명시적으로 다 적어줘야한다.

변수

• $S_{k}(t)$: $t$ 시점에서 병에 걸릴 수 있는^susceptible $k$ 번째 집단의 비율을 나타낸다.
• $I_{k}(t)$: $t$ 시점에서 병을 옮길 수 있는^infectious $k$ 번째 집단의 비율을 나타낸다. 정보 확산의 맥락에서는 Informed의 앞글자를 따기도 한다.

파라미터

• $\beta_{ij}>0$: $i$ 집단에 대한 $j$ 집단의 전염률^{infection rate}이다.
• $\gamma_{k}>0$: $k$ 집단의 회복률^{recovery rate}이다.

설명

기본적으로 SIS 모델을 쓰고 있지만 그런건 어찌되든 상관없고, 핵심은 전체 인구를 두 집단 $k=1,2,3$ 로 나누었다는 것이다. 인덱스 $1,3$ 을 숙주^host로 보았을 때 두 집단은 서로 직접적으로 병을 옮기지는 않지만, 인덱스 $2$ 인 중간 숙주^vector에 의해 전염병을 공유하게 되었다.

2021년에도 여전히 논란이 되고 있는 COVID-19는 박쥐에서 시작해 천산갑을 거쳐 인간에게 전파된 것으로 보고 있는데², $I_{1}$ 이 바이러스를 가지고 있던 박쥐라면 $I_{2}$ 는 천산갑, 그리고 최초의 $I_{3}$ 는 그 천산갑을 약재다 고급재료다 하며 즐겼던 우한의 중국인들이었을 것이다.

꼭 종간 전염 이야기는 아니지만, 상태의 구획뿐만 아니라 복수의 종단위 구획 설정은 더 많은 가능성을 열어준다. 같은 종이라도 멀고 가까움에 대한 공간적인 특성(이를테면 국가단위의)을 반영한다든가, 연령/생활 패턴의 차이에 따라 접촉량이 다른 것을 가정해 전염률에 차이를 주는 방식도 생각해볼 수 있다.