📂동역학

SIS 모델: 재감염과 고질병

개요

SIS 모델은 전염이나 정보의 확산에서 면역, 무관심 등을 고려하지 않는 모델이다. 주로 유행병^epidemic이 아닌 풍토병^endemic, 예를 들어 감기, 독감, 성병, 말라리아 등이 SIS 로 모델링될 수 있다.

모델 ¹

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S + \gamma I \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \gamma I \end{align*} $$

변수

• $S(t)$: $t$ 시점에서 병에 걸릴 수 있는^susceptible 집단의 개체수를 나타낸다.
• $I(t)$: $t$ 시점에서 병을 옮길 수 있는^infectious 집단의 개체수를 나타낸다. 정보 확산의 맥락에서는 Informed의 앞글자를 따기도 한다.
• $N(t) = S(t) + I(t)$: 전체 개체수를 나타낸다. 바이탈 다이내믹스^{vital dynamics}가 고려되지 않으면 보통 보존량(상수)으로 두며, 변수들을 개체수가 아닌 전체 인구에서의 비율이라고 하면 $N(t) = 1$ 이라고 두는 경우가 많다.

파라미터

• $\beta>0$: 전염률^{infection rate}이다.
• $\gamma>0$: 회복률^{recovery rate}이다.

기초감염재생산수

$$\mathcal{R}_{0} = {{ \beta } \over { \gamma }}$$

정리

SIS 모델은 본질적으로 로지스틱 성장 모델이다.

증명 ²

$$ {{d I} \over {d t}} = {{ \beta } \over { N }} S I - \gamma I $$ $S = N - I$ 이므로 $$ \begin{align*} {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} ( N - I ) I - \gamma I \\ =& \left( (\beta - \gamma) - {{ \beta } \over { N }} I \right) I \end{align*} $$

로지스틱 성장 모델: $$ \dot{N} = {{ r } \over { K }} N ( K - N) $$

감염자 $I$ 를 기준으로 보았면 그 수는 로지스틱 성장한다.

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