📂동역학

SIR 모델: 가장 기본적인 확산 모델

개요

SIR 모델은 가장 간단하고 수많은 변형이 있는 역학 구획 모델로써, 질병이나 정보 등의 확산 자체를 간단하면서도 직관적으로 잘 설명한다.

모델 ¹

$$\begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*}$$

변수

• $S(t)$: $t$ 시점에서 병에 걸릴 수 있는^susceptible 집단의 개체수를 나타낸다.
• $I(t)$: $t$ 시점에서 병을 옮길 수 있는^infectious 집단의 개체수를 나타낸다. 정보 확산의 맥락에서는 Informed의 앞글자를 따기도 한다.
• $R(t)$: $t$ 시점에서 회복된^recovered 집단의 개체수를 나타낸다. 정보 확산의 맥락에서는 Refractory의 앞글자를 따거나, 시뮬레이션 상에서 더 이상 반응하지 않고 다루는 의미가 없다는 점에서 Removed의 앞글자를 따기도 한다.
• $N(t) = S(t) + I(t) + R(t)$: 전체 개체수를 나타낸다. 바이탈 다이내믹스^{vital dynamics}가 고려되지 않으면 보통 보존량(상수)으로 두며, 변수들을 개체수가 아닌 전체 인구에서의 비율이라고 하면 $N(t) = 1$ 이라고 두는 경우가 많다.

파라미터

• $\beta>0$: 전염률^{infection rate}이다.
• $\mu>0$: 회복률^{recovery rate}이다.

설명

변수에서 말한 바이탈 다이내믹스는 말 그대로 각 개체의 생애까지 고려하는 것으로, 태어나고 나이들고 죽어서 전체 개체수 자체가 변하는 것을 말한다. 풍토병을 비롯해 아주 긴 시간동안의 분석이 아니라면 굳이 중요하게 다루진 않는다.

유도

롯카-볼테라 포식자-피식자 모델: $$\begin{align*} \dot{x} =& a x - b y \cdot x \\ \dot{y} =& c x \cdot y - d y \end{align*}$$

롯카-볼테라 경쟁 모델의 특수한 경우로 보면 유도는 끝난 것이나 마찬가지다. $S$ 는 전염병에 대한 피식자 $S = x$, $I$ 는 자연스럽게 포식자 $I = y$ 가 된다. 피식자 집단이 마땅히 전염병에 대항할 방법이 없는 것으로 가정하면 $a = 0$ 이고, $b = c := \beta / N$, $d = \mu$ 라고 하면

$$\begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \end{align*}$$

여기에 단지 $R$ 의 변화율을 $\displaystyle {{d R} \over {d t}} = \mu I$ 와 같이 추가하기만 하면 SIR 모델의 시스템을 얻는다.

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기초감염재생산수

$$\mathcal{R}_{0} = {{ \beta } \over { \mu }}$$

정학히는 자코비안 행렬로 고유값을 정확히 구할 수 있으나 계산이 많아 생략하고 야매로 구하는 방법을 생각해보자. 처음 전염병이 돌기 시작하는 시기, 즉 $S \approx N$ 일 때 이 전염병이 결국 대발생으로 이어지려면 $\displaystyle {{ d I } \over { d t }} > 0$ 이어야 할 것이다. 다시 말해 $I(0) > 0$ 에 대해 $${{ \beta } \over { N }} N I - \mu I \approx ( \beta - \mu ) I > 0$$ 인데, 수식적으로 $\displaystyle {{ \beta } \over { \mu }} > 1$ 이면 $I$ 가 계속 증가해 대발생이 일어날 것이다. 이러한 점에서 $\displaystyle \mathcal{R}_{0} := {{ \beta } \over { \mu }}$ 는 역학적 임계치^{epidemic Threshold2}로도 불릴 수 있다.

변형

SIRS 모델: 일시적 면역 ³⁴

기본적으로 R^recovered 상태는 병에서 회복된 상태, 그러니까 질병에 대한 영구적인 면역력을 얻은 것으로 가정한다. 그러나 다음과 같이 항 $\nu R$ 을 넣어 면역 상실을 반영할 수 있다. SIR과는 달리 직관적으로 풍토병^endemic을 다룰 수 있다.

$$\begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S + \nu R \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I - \nu R \end{align*}$$

보균자 ³

보균자^carrier란 전염병을 확산시키지만 임상적인 증상이 없는 개체를 말한다. 만약 이들의 수 $C$ 가 상수라면 SIR 시스템은 다음과 같이 수정될 수 있다.

$$\begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} (I + C) S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S (I + C) - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*}$$

바이탈 다이내믹스

로지스틱 성장 모델과 마찬가지로 번식률 $r>0$ 과 사망률 $\gamma>0$ 를 주어 바이탈 다이내믹스를 고려할 수 있다. 여기서 사망률은 전염병에 대한 감염 여부와 상관 없이 동일하게 적용되었고, 성장률 역시 감염여부를 가리지 않고 현재 총 개체수 $N(t) = S(t) + I(t) + R(t)$ 에 비례한다.

$$\begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - \gamma S - {{ \beta } \over { N }} I S + r N \\ {{d I} \over {d t}} =& - \gamma I + {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& - \gamma R + \mu I \end{align*}$$

수직감염

수직 감염^{vertical Transmission} 혹은 모자 감염이란 모체에서 신생아에게 직접 전달되는 감염⁵을 말하며, B형 간염 바이러스가 그 예시 중 하나다. 이를 반영하기 위해 바로 위의 바이탈 다이내믹스에서 얻은 시스템에 수직 감염 확률 $q \in (0,1)$ 을 주고 다음과 같이 고칠 수 있다.

$$\begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - \gamma S - {{ \beta } \over { N }} I S + r ( 1- q) N \\ {{d I} \over {d t}} =& - \gamma I + {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I + r q N \\ {{d R} \over {d t}} =& - \gamma R + \mu I \end{align*}$$

$r q N$ 는 병을 가지고 태어나는 신생아에 대한 항이다.