특정한 분포를 따르는 확률변수들의 덧셈 총정리
📂수리통계학특정한 분포를 따르는 확률변수들의 덧셈 총정리
정리
확률 변수 X1,⋯,Xn 들이 상호 독립이라고 하자.
- [1] 이항 분포: Xi∼Bin(ni,p) 이면
i=1∑mXi∼Bin(i=1∑mni,p)
- [2] 푸아송 분포: Xi∼Poi(mi) 이면
i=1∑nXi∼Poi(i=1∑nmi)
- [3] 감마 분포: Xi∼Γ(ki,θ) 이면
i=1∑nXi∼Γ(i=1∑nki,θ)
- [4] 카이제곱 분포: Xi∼χ2(ri) 이면
i=1∑nXi∼χ2(i=1∑nri)
- [5] 정규 분포: Xi∼N(μi,σi2) 이면 주어진 벡터 (a1,⋯,an)∈Rn 에 대해
i=1∑naiXi∼N(i=1∑naiμi,i=1∑nai2σi2)
증명
전략: 적률 생성 함수로 유도한다. 확률변수들이 상호 독립이라는 조건은 다음의 정리를 쓰기 위해 필수적이다.
X1,⋯,Xn 가 상호 독립이고 각각의 적률 생성 함수가 Mi(t),−hi<t<hi 이면 그 선형 결합 T:=i=1∑naiXi 의 적률 생성 함수 MT 는
MT(t)=i=1∏nMi(ait),−mini=1,⋯,nnhi<t<mini=1,⋯,nhi
[1]
이항 분포의 적률 생성 함수:
m(t)=[(1−p)+pet]n,t∈R
Y:=i=1∑mXi 라고 두면 X1,⋯,Xm 이 상호 독립이므로
MY(t)===M1(t)⋯Mm(t)[(1−p)+pet]n1⋯[(1−p)+pet]nm[(1−p)+pet]∑i=1mni
따라서
Y∼Bin(i=1∑mni,p)
■
[2]
푸아송 분포의 적률 생성 함수:
m(t)=exp[λ(et−1)],t∈R
Y:=i=1∑nXi 라고 두면 X1,⋯,Xn 이 상호 독립이므로
MY(t)===M1(t)⋯Mn(t)exp[m1(et−1)]⋯exp[mn(et−1)]exp[i=1∑nmi(et−1)]
따라서
Y∼Poi(i=1∑mmi)
■
[3]
감마 분포의 적률 생성 함수:
m(t)=(1−θt)−k,t<θ1
Y:=i=1∑nXi 라고 두면 X1,⋯,Xn 이 상호 독립이므로
MY(t)===M1(t)⋯Mn(t)(1−θt)−k1⋯(1−θt)−kn(1−θt)−∑i=1nki
따라서
Y∼Γ(i=1∑nki,θ)
■
[4]
감마 분포와 카이제곱 분포의 관계:
Γ(2r,2)⟺χ2(r)
Y:=i=1∑nXi 이고 i=1∑nki:=2ri 그리고 θ:=2 라 두면 정리 [3] 에 따라
Y∼Γ(i=1∑n2ri,2)
■
[5]
정규 분포의 적률 생성 함수:
m(t)=exp(μt+2σ2t2),t∈R
Y:=i=1∑naiXi 라고 두면 X1,⋯,Xn 이 상호 독립이므로
MY===M1(t)⋯Mn(t)i=1∏nexp[taiμi+2t2ai2σi2]exp[ti=1∑naiμi+2t2∑i=1nai2σi2]
따라서
Y∼N(i=1∑naiμi,i=1∑nai2σi2)
■
주의사항
주의해야할 것은 사실 확률변수의 덧셈이라는 단어가 없다는 것이다. 정확하게는 확률 변수의 선형결합 중에서도 특수한 경우를 이른다. 당연하지만 iid라는 더 강한 조건이 주어지면 더욱 쉽게 그 분포를 쉽게 구할 수 있다.