📂동역학

역학 구획 모델

개요 ¹

역학 구획 모델은 전염병의 창궐에 대한 모델로써, 인구 동역학에 전염병을 가미하고 ‘인구’을 몇가지 구획^{compartmental}으로 나눈다.

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• 역학^{疫學, Epidemiology}이란 전염병을 다루는 학문으로써, 생새우초밥집에서 다루는 다른 역학^{力學, Mechanics}들과는 관계가 없다.

설명

커맥^kermack과 맥켄드릭^mcKendrick에 의해 이른바 SIR 모델이 고안된 이래로 수많은 변형과 발전이 있어왔고, 그 아이디어에 원류를 두고 있는 모든 모델들은 기본적으로 역학 구획 모델이라고 본다. 가장 대표적인 모델은 앞서 언급한 최초의 SIR 모델로, 전체 인구 $N$ 을 다음과 같이 세가지 구획으로 나누었다:

• $S$ Susceptible: 건강한, 병에 걸릴 수 있는 상태
• $I$ Infected: 병에 걸린, 병을 퍼트리는 상태
• $R$ Recovered: 회복된, 면역을 가진 상태

이들은 전염률 $\beta > 0$ 와 회복률 $\mu > 0$ 에 대해 다음과 같이 간단한 자율시스템으로 표현된다.

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - \beta I S \\ {{d I} \over {d t}} =& \beta S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*} $$

쌍선형 시스템의 일반적 구조 ²

베레타^beretta와 카파소^capasso는 많은 파생 모델의 일반적인 폼을 다음과 같이 공식화했다. $$ {{dz} \over {dt}} = \text{diag} (z) (e + A z) + c $$

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• $n$ 은 구획의 갯수다.
• $z(t) \in \mathbb{R}^{n}$ 은 시간 $t$ 에 종속된 구획의 벡터다.
• $e, c \in \mathbb{R}^{n}$ 는 상수 벡터다.
• $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 은 경쟁적 계수로 표현되는 상수 행렬이다.

왜 이런 형태로 나타나는가?

보통 시스템을 유도할 때는 질량 작용 법칙에 따라 $A$ 와 $B$ 둘이 만나 반응하기 때문이다. 이들은 이상적인 공간 속에서 일정한 비율로 만나고 반응하며, 그 정도는 각각의 양에 비례하므로 반응하는 양도 $[A][B]$ 에 비례하게 된다. 따라서 못해도 각 구획이 두번은 곱해져야하는데, 막상 현실에서 세 구획이 모여서 함께 반응하는 현상도 생각해보면 흔하지가 않다. 따라서 대부분의 선형적 모델은 쌍선형으로 표현될 수 있다.

예시

간단한 SIR 모델을 예로 들면 $$ {{ d } \over { dt }} \begin{bmatrix} S(t) \\ I(t) \\ R(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S(t) & 0 & 0 \\ 0 & I(t) & 0 \\ 0 & 0 & R(t) \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 0 \\ -\mu \\ \mu \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -\beta & 0 \\ \beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S(t) \\ I(t) \\ R(t) \end{bmatrix} \right) + \mathbf{0} $$ 으로 풀어 쓸 수 있으므로 $$ e = \begin{bmatrix} 0 \\ -\mu \\ \mu \end{bmatrix} \\ A = \begin{bmatrix} 0 & -\beta & 0 \\ \beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ c = \mathbf{0} $$