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다변량 확률 변수의 분포 수렴 📂수리통계학

다변량 확률 변수의 분포 수렴

정의1

pp차원 랜덤 벡터 X\mathbf{X} 와 랜덤 벡터의 시퀀스 {Xn}\left\{ \mathbf{X}_{n} \right\} 가 다음을 만족하면 n→∞n \to \infty 일 때 Xn\mathbf{X}_{n} 이 X\mathbf{X} 로 분포 수렴한다고 말하고, Xn→DX\mathbf{X}_{n} \overset{D}{\to} \mathbf{X} 와 같이 나타낸다. lim⁡n→∞FXn(x)=FX(x),∀x∈CFX\lim_{n \to \infty} F_{\mathbf{X}_{n}} (x) = F_{\mathbf{X}} (x) \qquad, \forall x \in C_{F_{\mathbf{X}}}

  • FXF_{X} 는 확률변수 XX 의 누적분포함수다.
  • CFXC_{F_{\mathbf{X}}} 는 함수 FXF_{\mathbf{X}} 가 연속인 점들의 집합을 나타낸다.

다변량 중심 극한 정리

{Xn}\left\{ \mathbf{X}_{n} \right\} 가 평균 벡터 μ∈Rp\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^{p} 와 공분산 행렬 Σ∈Rp×p\Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p} 를 가지고 iid인 랜덤 벡터들의 시퀀스라고 하자. 영벡터 0\mathbf{0} 근방에서 적률 생성 함수 m(t)m ( \mathbf{t}) 가 존재한다고 가정하고 Yn\mathbf{Y}_{n} 을 다음과 같이 정의하자. Yn:=1n∑k=1n(Xk−μ)=n(X‾−μ)\mathbf{Y}_{n} := {{ 1 } \over { \sqrt{n} }} \sum_{k=1}^{n} \left( \mathbf{X}_{k} - \mathbf{\mu} \right) = \sqrt{n} \left( \overline{\mathbf{X}} - \mathbf{\mu} \right) 그러면 Yn\mathbf{Y}_{n} 은 다변량 정규 분포 Np(0,Σ)N_{p} \left( \mathbb{0} , \mathbf{\Sigma} \right) 로 분포 수렴한다.

증명

영벡터 0\mathbf{0} 근방의 t∈Rp\mathbf{t} \in \mathbb{R}^{p} 에 대해 YnY_{n} 의 적률생성함수는 다음과 같다. Wk:=t′(X−μ)W_{k} := \mathbf{t} ' \left( \mathbf{X} - \mathbf{\mu} \right) 라고 두면 Mn(t)=E[exp⁡{t’1n∑k=1n(Xk−μ)}]=E[exp⁡{1n∑k=1nt′(Xk−μ)}]=E[exp⁡{1n∑k=1nWk}] \begin{align*} M_{n} \left( \mathbf{t} \right) =& E \left[ \exp \left\{ \mathbf{t}’ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} \left( \mathbf{X}_{k} - \mathbf{\mu} \right) \right\} \right] \\ =& E \left[ \exp \left\{ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} \mathbf{t} ' \left( \mathbf{X}_{k} - \mathbf{\mu} \right) \right\} \right] \\ =& E \left[ \exp \left\{ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} W_{k} \right\} \right] \end{align*} 여기서 WkW_{k} 들은 iid면서 평균이 00, 분산이 Var⁡(Wk)=t′Σt\operatorname{Var} \left( W_{k} \right) = \mathbf{t} ' \mathbf{\Sigma} \mathbf{t} 이므로, 일변량 중심극한정리에 따라 1n∑k=1nWk→DN(0,t′Σt) { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} W_{k} \overset{D}{\to} N \left( 0, \mathbf{t} ' \mathbf{\Sigma} \mathbf{t} \right) 이다. 그러면 n→∞n \to \infty 일 때 Mn(t)M_{n} \left( \mathbf{t} \right) 는 Mn(t)→et′Σt/2 M_{n} \left( \mathbf{t} \right) \to e^{\mathbf{t} ' \mathbf{\Sigma} \mathbf{t} / 2} 이는 다변량 정규 분포 Np(0,Σ)N_{p} \left( \mathbf{0}, \mathbf{\Sigma} \right) 의 적률생성함수다.

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  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p322. ↩︎