📂수리통계학

다변량 확률 변수의 분포 수렴

정의¹

$p$차원 랜덤 벡터 $\mathbf{X}$ 와 랜덤 벡터의 시퀀스 $\left\{ \mathbf{X}_{n} \right\}$ 가 다음을 만족하면 $n \to \infty$ 일 때 $\mathbf{X}_{n}$ 이 $\mathbf{X}$ 로 분포 수렴한다고 말하고, $\mathbf{X}_{n} \overset{D}{\to} \mathbf{X}$ 와 같이 나타낸다. $$\lim_{n \to \infty} F_{\mathbf{X}_{n}} (x) = F_{\mathbf{X}} (x) \qquad, \forall x \in C_{F_{\mathbf{X}}}$$

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• $F_{X}$ 는 확률변수 $X$ 의 누적분포함수다.
• $C_{F_{\mathbf{X}}}$ 는 함수 $F_{\mathbf{X}}$ 가 연속인 점들의 집합을 나타낸다.

다변량 중심 극한 정리

$\left\{ \mathbf{X}_{n} \right\}$ 가 평균 벡터 $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^{p}$ 와 공분산 행렬 $\Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p}$ 를 가지고 iid인 랜덤 벡터들의 시퀀스라고 하자. 영벡터 $\mathbf{0}$ 근방에서 적률 생성 함수 $m ( \mathbf{t})$ 가 존재한다고 가정하고 $\mathbf{Y}_{n}$ 을 다음과 같이 정의하자. $$\mathbf{Y}_{n} := {{ 1 } \over { \sqrt{n} }} \sum_{k=1}^{n} \left( \mathbf{X}_{k} - \mathbf{\mu} \right) = \sqrt{n} \left( \overline{\mathbf{X}} - \mathbf{\mu} \right)$$ 그러면 $\mathbf{Y}_{n}$ 은 다변량 정규 분포 $N_{p} \left( \mathbb{0} , \mathbf{\Sigma} \right)$ 로 분포 수렴한다.

증명

영벡터 $\mathbf{0}$ 근방의 $\mathbf{t} \in \mathbb{R}^{p}$ 에 대해 $Y_{n}$ 의 적률생성함수는 다음과 같다. $W_{k} := \mathbf{t} ' \left( \mathbf{X} - \mathbf{\mu} \right)$ 라고 두면 $$ \begin{align*} M_{n} \left( \mathbf{t} \right) =& E \left[ \exp \left\{ \mathbf{t}’ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} \left( \mathbf{X}_{k} - \mathbf{\mu} \right) \right\} \right] \\ =& E \left[ \exp \left\{ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} \mathbf{t} ' \left( \mathbf{X}_{k} - \mathbf{\mu} \right) \right\} \right] \\ =& E \left[ \exp \left\{ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} W_{k} \right\} \right] \end{align*} $$ 여기서 $W_{k}$ 들은 iid면서 평균이 $0$, 분산이 $\text{Var} \left( W_{k} \right) = \mathbf{t} ' \mathbf{\Sigma} \mathbf{t}$ 이므로, 일변량 중심극한정리에 따라 $$ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} W_{k} \overset{D}{\to} N \left( 0, \mathbf{t} ' \mathbf{\Sigma} \mathbf{t} \right) $$ 이다. 그러면 $n \to \infty$ 일 때 $M_{n} \left( \mathbf{t} \right)$ 는 $$ M_{n} \left( \mathbf{t} \right) \to e^{\mathbf{t} ' \mathbf{\Sigma} \mathbf{t} / 2} $$ 이는 다변량 정규 분포 $N_{p} \left( \mathbf{0}, \mathbf{\Sigma} \right)$ 의 적률생성함수다.

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