📂함수

1+2+3+4+5+⋯=-1/12 의 해석적 증명

정리

$$\begin{align*} & 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{-1} }} \\ =& \zeta (-1) \\ =& -{{ 1 } \over { 12 }} \end{align*}$$

설명

양수를 계속 더했는데 어떻게 음수가 나오는가에만 집중한다면 이 포스트를 절대 이해할 수 없을 것이다. 핵심은 $\sum_{n \in \mathbb{N}} n$ 이 디리클레 급수 $\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{-1} }}$ 으로 표현된다는 것이고, 그 해석적 연속인 리만 제타 함수 $\zeta$ 의 함숫값 $\zeta (-1)$ 으로써 계산한다는 것이다.

정확히 증명을 이해해보려고 하지도 않고 본인이 쉽게 다룰 수 있는 부분만 가져와 “어쨌든 등식이 성립하지 않잖아요?“나 “이걸로 모순 보일 수 있는데요?” 같은 태도를 보일거라면 차라리 모르느니만 못하다. 엄밀히 말해 이 포스트에서 소개하는 것은 사실 등식 $$\displaystyle \zeta (-1) = - {{ 1 } \over { 12 }}$$ 에 대한 증명뿐인 것에 주의하자.

증명¹

리만 함수 방정식: $$\zeta (s) = 2^{s} \pi^{s - 1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma (1-s) \zeta (1-s)$$

리만 함수 방정식에 따라 $z=-1$ 에서 감마 함수 $\Gamma (1-z)$ 의 함숫값은 $\Gamma (2) = 1! = 1$ 이고 오일러의 증명에 따라 $\displaystyle \zeta (2) = {{ \pi^{2} } \over { 6 }}$ 이므로

$$\begin{align*} & \zeta (-1) \\ =& {{ 1 } \over { 2 \pi^{2} }} \sin \left( - {{ \pi } \over { 2 }} \right) \Gamma (2) \zeta (2) \\ =& {{ 1 } \over { 2 \pi^{2} }} \cdot (-1) \cdot 1! \cdot {{ \pi^{2} } \over { 6 }} \\ =& - {{ 1 } \over { 12 }} \end{align*}$$

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