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암묵적 상미분방정식

분수 함수를 극복하기 위한 신디: SINDyPI

NG-RC

로렌츠-96

먹이사슬 모델과 헤이스팅-파월 방정식

열린 동역학계의 정상성

정의 ^{1 2}

1. 시스템 $\dot{x} = f (x)$ 에 영향을 주는 외부 요인 $\lambda$ 가 존재해서 트래젝터리의 운명^fate을 바꿀 수 있으면 그 시스템이 열린^open 시스템이라고 한다.
2. 열린 시스템이 시간 $t$ 에 독립이면 정상적^stationary이라 하고, $\dot{x} = f \left( x , \lambda (t) \right)$ 와 같이 시간에 종속되어 $\lambda = \lambda (t)$ 면 비정상적^{non-stationary}이라 한다.

설명

정상적인 시스템에서 파라미터의 변화에 따라 일어나는 동역학적 변화를 바이퍼케이션이라 하고, 비정상적인 시스템에서 일어나는 동역학적 변화를 티핑 포인트라고 한다.

준정적 어트랙터의 정의

Ashwin, P., Wieczorek, S., Vitolo, R., & Cox, P. (2012). Tipping points in open systems: bifurcation, noise-induced and rate-dependent examples in the climate system. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 370(1962), 1166-1184.

동역학에서 티핑 포인트의 정의

../X003

Patel, D., & Ott, E. (2023). Using machine learning to anticipate tipping points and extrapolate to post-tipping dynamics of non-stationary dynamical systems. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 33(2).

B-티핑 포인트

Cantisán, J., Yanchuk, S., Seoane, J. M., Sanjuán, M. A., & Kurths, J. (2023). Rate and memory effects in bifurcation-induced tipping. Physical Review E, 108(2), 024203.

N-티핑 포인트

R-티핑 포인트

정의 ¹

프란틀 수의 정의 $\mathrm{Pr}$

정의

비열 $C_{p}$ 와 과 점성계수 $\mu$ 의 곱을 열전도율 $k$ 로 나눈 무차원량을 프란틀 수^{Prandtl number}라 한다. $$ \mathrm{Pr} = \frac{C_p \mu}{k} $$

설명

프란틀 수의 직관적인 해석은 다른 무차원량이 그러하듯 그 크기에 비례하는 요소들을 생각하며 분자와 분모를 나누어 보는 게 좋다. $\mathrm{Pr}$ 이 크다는 것은 비열이 높거나 끈적이지 않거나 열전도율이 낮다는 뜻이다. 상대적으로 큰 $\mathrm{Pr} \gg 0$ 이라는 것은 열전달의 맥락에서 단열재로써 좋다는 의미가 될 것이다.

• 비열이 높으면 일단 이 물질을 가열하는 것 자체가 지체된다.
• 끈적인다는 것은 대류가 적게 일어난다는 것이다.
• 열전도율이 낮아 에너지 전달이 적다.
• 반대로 열전달 효율을 높여야하는 맥락에서 $\mathrm{Pr}$ 은 낮을수록 좋다.

한편 분자와 분모에 밀도 $\rho$ 를 생각해보면 열전도율 $k$ 는 열확산도 $\alpha$ 에 대해 $k = \rho C_{P} \alpha$ 고 점성계수 $\mu$ 는 동점성계수 $\nu$ 에 대해 $\mu = \rho \nu$ 이므로, 프란틀 수는 다음과 같이 더 간단한 꼴로 나타낼 수도 있다. $$ \mathrm{Pr} = \frac{C_{P} \mu}{\rho C_{P} \alpha} = \frac{\mu / \rho}{\alpha} = \frac{\nu}{\alpha} $$

유체에서 대류와 확산, 이류의 정의

../X002

정의

유체에 의해 물질이나 열이 움직이는 현상에 대해 말하려고 한다.

1. 거시적으로 유체가 집단적으로 이동하는 것을 이류^advection라 한다.
2. 미시적인 분자의 움직임에 의해 균질화되는 것을 확산^diffusion이라 한다.
3. 이류와 확산이 동시에 작용해서 물질이나 열이 전달되는 것을 대류^convection라 한다.

설명

수식적으로는 이류는 유체의 유속 $\mathbf{u}$ 에 의해 설명되며 확산은 질량확산도 $D$ 나 열확산도 $\alpha$ 와 같은 확산계수에 의해 설명된다.

경험적인 예시로써 차가운 방을 데우는 장치를 상상해보면, 온풍기는 이류를 적극적으로 일으키고 난로는 확산에 의존하는 방식이라 볼 수 있다. 이류는 뜨거운 공기 자체에 힘을 주어서 이동시키는 것과 달리, 확산은 뜨거운 기체 분자가 브라운 운동을 하며 길게 보면 방 전체로 퍼지는 것이다.

• 프란틀 수
• 슈미트 수
• 페클레 수
  • 레일리 수
• 너셀 수
• 셔우드 수

• 퍼뮤테이션 엔트로피: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.88.174102, http://materias.df.uba.ar/dnla2019c1/files/2019/03/permutation_entropy.pdf
• 셀룰러 오토마타
  • 폰 노이만 네이버후드
  • 무어 네이버후드
• 쿠프만 오퍼레이터
• 하이퍼카오스
• CUR 분해

뒷받침하다: underpin

Neuromorphic reservoir computing

https://doi.org/10.1063/5.0282708

This attention is underpinned by the fundamental principle that increased complexity and biophysical detail in neuronal modeling do not necessarily correlate with improved predictive performance.

deriation value

https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.5.033127

동적 노이즈 dynamical noise

Patel, D., & Ott, E. (2023). Using machine learning to anticipate tipping points and extrapolate to post-tipping dynamics of non-stationary dynamical systems. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 33(2).