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https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.88.174102 http://materias.df.uba.ar/dnla2019c1/files/2019/03/permutation_entropy.pdf

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✅ 지배 방정식

../X000

용어

주로 동역학계와 같이 주어진 시스템에서, 시스템의 상태^state를 설명하는 변수^variable로 이루어진 방정식을 지배 방정식^{governing equation}이라 한다.

설명

$$ x_{t+1} = r x_{t} (1 - x_{t}) $$ 예로써 ‘토끼의 개체수’라는 상태를 $x_{t}$ 라는 변수로 나타낸다고 한다면, 흔히 이러한 시스템은 위와 같이 로지스틱 맵으로 설명할 수 있을 때 위의 동역학계를 설명하는 맵을 지배 방정식이라 부를 수 있다.

지배 방정식은 주로 복잡한 시스템을 다루는 경우가 많다보니 미분방정식으로 표현되는 경우가 많은데, 이를테면 감염병을 모델링하기 위한 SIR 모델은 다음과 같은 상미분방정식을 지배 방정식으로 삼는다. $$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*} $$

더 복잡하게는 유체역학 등에서 오일러 방정식은 다음과 같은 편미분방정식으로써, 유속을 변수 $\mathbf{u}$ 로 설명하는 지배 방정식이다. $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla P + \mathbf{g} $$

✅ 오일러 기술법과 라그랑주 기술법

../X001

정의 ¹

특히 유체역학에서, 유체는 형태가 명확하지 않고 운동 상태를 자세히 알기 어렵기 때문에 유체 입자^{fluid particle}와 같은 걸 상정한다. 유체 입자의 운동 상태를 설명하는 기술법^description 두가지가 있다.

오일러 기술법

$$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} $$

오일러^Eulerian 기술법은 한 시점을 고정하고 모든 점에서 유체의 운동 상태를 관찰하는 방식이다.

라그랑주 기술법

$$ {\frac{ \partial u }{ \partial x }} , {\frac{ \partial u }{ \partial y }} , {\frac{ \partial u }{ \partial z }} $$

라그랑주^Lagrangian 기술법은 유체 입자를 추적하며 그 운동 상태를 관찰하는 방식이다.

설명 ²

기술법은 운동^motion 혹은 명세^{specification}로도 불릴 수 있지만, 사실 그 정확한 단어가 무엇인지는 크게 중요하지 않고 유체 입장의 운동을 설명하는 방법에 두가지가 있다는 맥락만 정확하면 된다.

오일러 기술법과 라그랑주 기술법은 서로 대비되는 것이 아니라 상호보완적인 개념으로, 편미분방정식이 빠질 수 없는 유체역학에서 두 관점이 모두 필요하다는 점을 이해하는 것이 중요하다.

기본적으로는 시간을 멈추고 현상을 관조하는 오일러 기술법이라는 게 더 직관적이지만, 그게 어떤 물리량이든 상하좌우전후 공간적으로 상호작용이 있는 이상 라그랑주 기술법과 같은 아이디어가 필요하다. 예를 들어 유속이 다른 두 개의 파이프가 하나로 합쳐지는 지점이 있다고 한다면, 오일러 기술법만으로는 파이프 각자에서 어떤 속도로 유체가 흘러들어오는지 알 수 없는 상황을 상상할 수 있다.

✅ 물질 미분

../X002

정의 ¹

$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 속도벡터를 위와 같이 나타낸다고 하자.

$$ {\frac{ D }{ D t }} = {\frac{ \partial }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial }{ \partial x_{3} }} $$

위와 같이 시간에 대한 미분항과 발산항의 합으로써 표현되는 미분 연산 $D$ 을 물질 미분^{material derivative}이라 한다. $\mathbf{u}$ 에 대해서는 다음과 같이 나타낸다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$

설명 ¹

벡터꼴로 적힌 물질 미분을 각 차원별로 풀어헤치면 다음과 같다. $$ \begin{align*} {\frac{ D u_{1} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) u_{1} \\ {\frac{ D u_{2} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) u_{2} \\ {\frac{ D u_{3} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) u_{3} \end{align*} $$ 마지막으로 한번만 더 이해를 돕기 위해 좌표별로 적어보면 다음과 같다. $$ \begin{align*} {\frac{ D u_{1} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ D u_{2} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ D u_{3} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} \end{align*} $$

오일러와 라그랑주 기술법의 결합

다시 간결한 형태로 돌아와서, 물질 미분의 우변은 다음과 같이 두 종류의 항을 포함하고 있다. $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = {\color{red} {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }}} + {\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}} $$ 여기서 첫번째 빨간 $\color{red} \partial \mathbf{u} / \partial t$ 를 국소가속^{local acceleration} 혹은 더 간단히 관성항이라 부를 수도 있다. 두번째 파란 $\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}$ 는 대류가속^{convective acceleration} 혹은 더 간단히 대류항이라 부른다.

오일러와 라그랑주 기술법: 유체역학에서 유체는 형태가 명확하지 않고 운동 상태를 자세히 알기 어렵기 때문에 유체 입자^{fluid particle}와 같은 걸 상정한다. 유체 입자의 운동 상태를 설명하는 기술법^description 두가지가 있다. $$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} $$ 오일러^Eulerian 기술법은 한 시점을 고정하고 모든 점에서 유체의 운동 상태를 관찰하는 방식이다. $$ {\frac{ \partial u }{ \partial x }} , {\frac{ \partial u }{ \partial y }} , {\frac{ \partial u }{ \partial z }} $$ 라그랑주^Lagrangian 기술법은 유체 입자를 추적하며 그 운동 상태를 관찰하는 방식이다.

관성항은 오일러 기술법, 대류항은 라그랑주 기술법에서 유래한다. 이렇듯 항을 부르는 이름도 그렇고, 물질 미분은 특히 유체역학 전반에서 반드시 등장한다.

$$ u_{t} + u u_{x} = 0 $$ 예를 들어 비점성 버거스 방정식는 물질 미분을 사용하여 다음과 같이 더 간략하게 쓸 수 있다. $$ {\frac{ D u }{ D t }} = 0 $$

유도

벡터해석에 대해 익숙하다면 쉽게 알 수 있듯, 사실 물질 미분은 전미분의 특수한 예에 지나지 않는다. 유도과정을 직접 보고 이해해보자.

다변수 벡터함수의 연쇄법칙: 두 함수 $\mathbf{g} : D \subset \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k}$, $\mathbf{f} : \mathbf{g}(\mathbb{R}^{k}) \subset \mathbb{R}^{k} \to \mathbb{R}^{n}$가 미분 가능하다고 하자. 그러면 두 함수의 합성 $\mathbf{F} = \mathbf{f} \circ \mathbf{g} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$도 미분가능하고, $\mathbf{F}$의 (전)도함수는 다음을 만족한다. $$ \mathbf{F}^{\prime}(\mathbf{x}) = \mathbf{f}^{\prime}\left( \mathbf{g}(\mathbf{x}) \right) \mathbf{g}^{\prime}(\mathbf{x}) $$

$\partial t / \partial t = 1$ 이고 $k = 1,2,3$ 에 대해 $u_{k} = d x_{k} / dt$ 이므로, 벡터함수의 연쇄법칙에 의해 물질 미분을 얻을 수 있다.

✅ 점성 유체

../X003

정의 ¹

유체 내부에서 마찰을 일으키는 성질을 점성^viscosity이라 한다.

설명

공부하는 입장에서 위와 같은 점성의 정의가 깔끔하고 좋기는한데, 그냥 더 직관적으로 말하자면 점성이란 ‘끈적한 성질’이라 설명할 수 있다.

흔히 우리는 공기나 물 같은 유체를 비점성 유체, 꿀이나 용암 같은 유체를 점성 유체라 부른다.

유체의 내부 마찰은 유체의 인접한 두 층이 서로 움직이며 발생하는 저항으로써 일어나며, 점성력^{viscous force}라 부르기도 한다. 물체와 물체 사이의 마찰이 열에너지가 되듯, 점성은 유체의 운동에너지를 내부에너지로 바꾸는 것에 기여한다.

✅ 압축성 유체

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정의 ¹

밀도가 상수인 유체를 비압축성 유체^{incompressible fluid}라 한다. 비압축성 유체가 아닌 유체를 압축성 유체^{compressible fluid}라 한다.

설명

$$ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 $$ 유속을 $\mathbf{u}$ 와 같이 나타낼 때, 유체가 비압축성이라는 것은 위와 같은 보존방정식을 만족하는 것과 동치다. 물론 정확히 0이라는 것은 현실 세계에서 너무나 이상적이기에, 실제로는 밀도의 변화가 무시할만한 수준으로 작을 때 비압축성 유체라 부른다.

압축성에 따른 유체의 차이는 사실상 액체(비압축성)냐 기체(압축성)냐의 차이로 보아도 무바하다. 물론 액체도 아주 극한의 상황에서는 압축성이 나타날 수 있지만, 앞서 말했듯 보통의 경우엔 그 압축성이 무시할만한 수준으로 작다.

✅ 코시 스트레스 텐서

../X005

정의 ¹

주로 물리학에서, 한 점에 각 방향과 전단으로 작용하는 스트레스를 성분으로 가지면서 다음과 같이 정의되는 정방행렬 $\mathbf{\sigma} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 을 코시 스트레스 텐서^{Cauchy stress tensor}라 한다. $$ \sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} $$

설명

한 점에 작용하는 스트레스라고는 하나, 면으로 미는 힘인 전단 응력^{shear stress}이 포함되다보니 $\sigma$ 는 정의에서 보이는 것처럼 일반성을 잃지 않고 아주 작은 미소부피를 가지는 육면체으로 생각하는 것이 편하다.

등방성

주로 유체역학의 맥락에서는, 유체는 등방성^isotropy을 가져 어떤 방향에서나 작용하는 힘이 일정하다고 가정한다. 등방성은 꼭 유체역학에서만 생각하는 개념은 아니고, 방향을 무시하는 가정을 세울 때 언제나 접할 수 있는 가정이다.

대각성분 $\sigma_{11} , \sigma_{22} , \sigma_{33}$ 은 세가지 차원에서 각각 작용하는 수직 스트레스로써 생각하며, 등방성을 가정해서 일정하게 열역학적 압력^{thermodynamic pressure} $-p$ 가 가해진다면 $\sigma$ 의 대각합은 다음을 만족하게 된다. $$ \tr \left( \sigma \right) = \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33} = - 3 p $$

대각성분이 아닌 $\sigma_{ij}$ 는 물체가 뒤틀리거나 회전하는 등의 전단 스트레스로 작용하는 힘을 나타낸다. 등방성을 가정할 수 있을 경우 모든 스트레스가 대칭을 이루므로 $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ 이 되고, $\sigma$ 는 대칭행렬이 된다. 이 경우 $\sigma$ 는 자유도 $6$ 을 가진다.

유체역학에서의 오일러 방정식 유도

../X006

정리

$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 그와 비슷하게, $p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 은 각 좌표에서 가해지는 압력 $p = p \left( \mathbf{x} \right)$ 을 나타낸다. $\mathbf{u}$ 가 비점성이고 비압축성인 유체의 유속이라면, 다음의 지배 방정식을 따른다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$ 여기서 $\nabla \cdot$ 은 발산, $\rho$ 는 밀도, $\mathbf{g}$ 는 중력가속도다.

설명

우변의 첫번째 항은 흔히 $\nabla w = \nabla p / \rho$ 와 같이 열역학적 일^{thermodynamic work}으로 바꿔 적기도 한다.

오일러의 운동방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙을 유체역학에 적용한 것으로 볼 수 있다.

유도 ²

물질 미분의 우변은 다음과 같이 두 종류의 항을 포함하고 있다. $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = {\color{red} {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }}} + {\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}} $$ 여기서 첫번째 빨간 $\color{red} \partial \mathbf{u} / \partial t$ 를 국소가속^{local acceleration} 혹은 더 간단히 관성항이라 부를 수도 있다. 두번째 파란 $\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}$ 는 대류가속^{convective acceleration} 혹은 더 간단히 대류항이라 부른다.

유체역학에서 유체 입자의 가속도는 물질 미분으로 표현되고 $\mathbf{u}$ 는 이미 속도벡터이므로, $\mathbf{u}$ 에 물질미분을 취한 것은 다음과 같이 어떤 가속도 $\mathbf{a}$ 와 중력가속도 $\mathbf{g}$ 의 합으로 나타낼 수 있을 것이다. $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = \mathbf{a} + \mathbf{g} $$

이제 이 $\mathbf{a}$ 를 구해보자. 일반성을 잃지 않고, 가로, 세로, 높이의 변화량이 각각 $dx_{1} , dx_{2} , dx_{3}$ 이고 질량이 $m$ 인 미소직육면체의 안쪽 방향으로, 면과 수직하게 $\mathbf{F} = \left( F_{1} , F_{2} , F_{3} \right)$ 라는 힘이 작용한다고 하자.

압력 부피 응력: 표면적이 $A$ 인 물체에 가해지는 힘을 $F$ 라 할 때, $p = F / A$ 를 압력^pressure이라 한다. 압력의 변화량 $\Delta p$ 를 부피 응력^{volume stress}라 한다. 물체의 원래 부피 $V_{0}$ 와 부피의 변화량 $\Delta V$ 의 비 $\Delta V / V_{0}$ 를 부피 변형률^{volume strain}이라 한다. 부피 응력과 부피 변형률의 비 $B$ 를 체적률^{bulk modulus}라 한다. $$ B := \frac{\text{volume stress}}{\text{volume strain}} = - \frac{\Delta F / A}{\Delta V / V_{0}} = - \frac{\Delta P}{\Delta V / V_{0}} $$ 여기서 $B$ 의 정의에 있는 마이너스 부호는 압력이 증가할 때 부피가 감소하는 것을 반영해서 $B$ 가 양수가 되도록 하기 위해 필요하다.

힘은 압력과 면접의 곱인 $F = p A$ 로 나타낼 수 있으므로, 압력 $p$ 가 가해질 때 $F = F_{1}$ 는 압력 $p$ 와 면적 $A = d x_{2} d_{3}$ 의 곱인 $F_{1} = p d x_{2} d x_{3}$ 로 나타낼 수 있다. 압력이 가해지며 부피의 변화량은 음수가 되어야 하고, $dV = - dx_{1} dx_{2} dx_{3}$ 이므로 양변을 $x_{1}$ 으로 편미분하면 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} & {\frac{ \partial F_{1} }{ \partial x_{1} }} = {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} d x_{2} d x_{3} \\ \implies & d F_{1} = {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} d x_{2} d x_{3} d x_{1} \\ \implies& d F_{1} = - {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} d V \end{align*} $$ 이는 $d F_{2}$ 와 $d F_{3}$ 에 대해서도 마찬가지로 성립하므로, 다음과 같이 잘 묶어서 벡터꼴로 쓸 수 있다. $$ \begin{align*} \begin{bmatrix} d F_{1} \\ d F_{2} \\ d F_{3} \end{bmatrix} =& - \begin{bmatrix} {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} \\ {\frac{ \partial p }{ \partial x_{2} }} \\ {\frac{ \partial p }{ \partial x_{3} }} \end{bmatrix} d V \\ \implies d \mathbf{F} =& - \nabla p d V \end{align*} $$

뉴턴의 운동법칙: $$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $$

밀도는 $\rho = m / V$ 와 같이 질량과 부피의 비로 정의되므로, 뉴턴의 제2운동법칙에서 양변을 질량 $m$ 으로 미분한 $d \mathbf{F} / dm = \mathbf{a}$ 에서 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} \mathbf{a} =& {\frac{ d \mathbf{F} }{ d m }} \\ =& - {\frac{ \nabla p d V }{ \rho d V }} \\ =& - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p \end{align*} $$ 마지막으로 물질미분으로 표현된 $D \mathbf{u} / Dt = \mathbf{a} + \mathbf{g}$ 에 위에서 구한 $\mathbf{a}$ 를 대입하고 물질미분을 시간에 대한 미분과 발산항의 합으로 바꾸면 다음과 같이 오일러 방정식을 얻는다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$

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대칭화된 그래디언트

../X007

정의 ¹

$\mathbf{u}$ 의 자코비안을 간단히 $\nabla \mathbf{u}$ 로 나타낸다고 하자. 이때, 다음과 같이 정의되는 행렬 연산 $\epsilon (\mathbf{u})$ 를 대칭화된 그래디언트^{symmetrized gradient}라 한다. $$ \varepsilon (\mathbf{u}) = {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

설명

대칭화된 그래디언트는 텐서 $\nabla \mathbf{u}$ 와 그 전치행렬^{transpose matrix} $\left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T}$ 의 평균으로 정의된다. 정의 자체에서 알 수 있듯 $\varepsilon (\mathbf{u})$ 는 대칭행렬이다.

대칭화된 그래디언트는 편미분방정식을 다룰 때 접할 수 있으며, 특히 뉴턴의 점성 법칙을 기술할 때 나타나기도 한다.

뉴턴의 점성 법칙과 뉴턴 유체

../X008

정의

$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자.

뉴턴의 점성 법칙

유체역학에서, 비압축성이면서 등방성 유체에 가해지는 스트레스는 유속의 대칭화된 그래디언트에 정비례한다는 것을 뉴턴의 점성 법칙^{Newton’s law of viscosity}이라 하고, 수식적으로는 코시 스트레스 텐서 $\tau$ 와 유속장 $\mathbf{u}$ 의 자코비안 $\nabla \mathbf{u}$ 에 대해 다음과 같이 나타낸다. $$ \tau = \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$ 여기서 등장하는 $\mu$ 를 동점성 계수^{dynamic viscosity coefficient}라 한다.

뉴턴 유체

뉴턴의 점성 법칙을 따르는 유체를 뉴턴 유체^{Newtonian fluid}라 하고, 뉴턴의 점성 법칙을 따르지 않는 유체를 비뉴턴 유체^{non-Newtonian fluid}라 한다.

설명

흔히 뉴턴의 점성 법칙을 $1$ 차원 흐름부터 시작해서 $\tau = \mu du /dy$ 와 같은 상미분방정식과 함께 ‘전단 응력과 속도 구배의 선형 관계’로 요약하기도 하는데, 개인적인 견해로는 그 설명이 훨씬 더 어렵고 확장도 곤란하다. 보통은 기호가 1차원에선 $u$ 였다가 2차원에선 $u, v$ 였다가 3차원에선 $\mathbf{u}$ 가 되는 등 모르니만 못한 사족이 되는 경우를 많이 보았다.

비뉴턴 유체

빅뱅이론 클립 삽입

유체에 대한 연속 방정식

나비에-스톡스 방정식 유도

압축성 나비에-스톡스 방정식 유도

부피 점성

자기성 유체

유체역학에서의 베르누이 방정식

토리첼리의 정리

알기 쉬운 유체역학 106페이지 13번 포스트 인용