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퍼뮤테이션 엔트로피
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.88.174102 http://materias.df.uba.ar/dnla2019c1/files/2019/03/permutation_entropy.pdf
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레이놀즈 수: 층류와 난류의 구분
정의 1
유체의 밀도 $\rho$ 와 유속 $v$, 특성 길이 $d$, 점성 $\mu$ 에 대해 다음과 같은 무차원수를 레이놀즈 수Reynolds number라 한다. $$ \mathrm{Re} := \frac{\rho v d}{\mu} $$ 경험적으로, $\mathrm{Re} < 2300$ 일 때는 층류laminar flow, $\mathrm{Re} > 4000$ 일 때는 난류turbulent flow가 발생한다고 말한다.
설명
우리는 소위 레이놀즈 수의 분자를 관성력inertial force이라 부르고, 분모를 점성력viscous force이라 부른다. 즉, 레이놀즈 수는 관성력과 점성력의 비를 나타낸다.
관성력이 크다는 것은 그만큼 유체의 본질과 별개로 가진 에너지가 크다는 뜻이고, 점성력이 작다는 것은 유체가 훨씬 자유분방하게 움직일 수 있다는 뜻이다. 이래저래 $\textrm{Re}$ 가 커지면 유체의 운동은 더욱 복잡해지고 불규칙해지며 우리가 상상하는 난류에 가까워진다.
작은 물줄기 하나를 쏟아내고 있는 수도관을 상상해보면, 밸브를 열면 $d$ 가 커지면서 유속 $v$ 가 빨라지므로 레이놀즈 수가 커지고 실제로 콸콸 쏟아지는 난류가 된다. 점성력이 극단적으로 높은 예로는 천천히 흐르는 용암같은 것이 있는데 이 경우 우리는 어렵지 않게 층류를 상상할 수 있다.
층류
난류
유도 3
정의니까 유도할 필요는 없지만, 관성력 $F_{n}$ 과 점성력 $F_{t}$ 의 비로부터 레이놀즈 수가 유도되는 과정을 살펴볼 수 있다. 그다지 엄밀하지 않으니 그냥 참고만 하는 게 좋다.
우선 유체가 모서리의 길이가 $l$ 이고 질량이 $m$ 인 미소 정육면체를 상상해보자.
밀도와의 관계식은 $m = \rho l^{3}$ 이고, $l$ 은 충분히 작으므로 가속도 $a$ 는 유속 $u$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ a = {\frac{ du }{ dt }} \approx {\frac{ u }{ l / u }} = {\frac{ u^{ 2 } }{ l }} $$ 이에 따라 관성력 $F_{n}$ 은 다음과 같이 근사할 수 있다. $$ \begin{align*} F_{n} =& ma \\ \approx& \rho l^{3} \cdot {\frac{ u^{ 2 } }{ l }} \\ =& \rho l^{2} u^{2} \end{align*} $$
한편 점성력 $F_{t}$ 는 점성 스트레스 $\tau$ 가 작용하는 면적 $l^{2}$ 의 곱으로 나타나므로 $F_{t} = - \tau l^{2}$ 이다.
뉴턴의 점성 법칙: $$ \tau = \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$
뉴턴의 점성 법칙은 $x$ 방향만 고려된 1차원 꼴이라고 했을 때 $\tau = - \mu du / dy$ 이고 $du / dy \approx u / l$ 이므로, $F_{t}$ 도 다음과 같이 근사할 수 있다. $$ \begin{align*} F_{t} =& - \tau l^{2} \\ =& - \left( - \mu {\frac{ du }{ dy }} \right) l^{2} \\ \approx& \mu \frac{u}{l} l^{2} \\ =& - \mu u l \end{align*} $$ 두 힘 $F_{n}$ 과 $F_{t}$ 의 비는 다음과 같다. $$ {\frac{ F_{n} }{ F_{t} }} \approx {\frac{ \rho l^{2} u^{2} }{ \mu u l }} = {\frac{ \rho u l }{ \mu }} = \mathrm{Re} $$
자성 유체
스티프한 방정식
@수치해석
용어
주로 미분방정식을 수치적으로 풀 때, 수치적 방법이 매우 작은 메쉬 사이즈mesh size를 요구하는 방정식을 스티프한 방정식stiff differential equation이라 부른다.
설명
일본어로는 단단한 방정식硬い方程式, [카타이 호테시키]라고 번역되는 것 같은데 아무래도 어감이 안 살아서 그냥 스티프한 방정식이라 순화했다.
코시 문제의 풀이에 있어서 문제가 스티프stiff하다는 말은 자주 쓰이지만 실제로 그 정의를 내리기는 어렵다. 쉽게 말하자면 수치적인 문제가 생겨서 풀기 어려운 문제라고 보면 되는데, 멀리 갈 필요도 없이 아주 간단한 달키스트 문제 $y’ = - \lambda y$ 조차 $\lambda > 0$ 가 큰 수가 될 때 스티프해진다. 편미분방정식 중에서는 간단한 편인 열방정식의 풀이조차 그러하다.
보통 이러한 문제를 극복하기 위해서는 명시적 메서드보다 암시적 메서드가 권장되나 언제나 해결책이 된다는 보장은 없으며, 메쉬 사이즈에서 이득을 보더라도 정작 다른 계산 소요가 커지는 경우도 있다.
미분방정식의 풀이법으로써의 로젠브록 메서드
@수치해석
수치해석에서의 스펙트럴 메서드
@수치해석
용어
편미분방정식의 수치적인 풀이를 위해, 편미분방정식 자체를 푸는 대신 해의 후보를 푸리에 급수로 두고 푸리에 계수의 상미분방정식으로써 우회하는 기법을 스펙트럴 메서드spectral method라 한다.
설명
그게 어떤 편미분방정식이든 관계 없이, 우리는 해의 푸리에 전개가 가능하다는 가정 하에서 다음과 같이 충분히 큰 $N$ 에 대해 $u$ 의 푸리에 급수로써 해를 근사시킨다는 아이디어에서 시작하려고 한다. $$ u ( t , x ) \approx \sum_{k = -N}^{N} c_{k} (t) \exp \left( i \pi k x \right) $$ 여기서 우리가 알 수 있는 것과 알 수 없는 것이 무엇인지 살펴보면, 우선 $\exp \left( i \pi k x \right)$ 는 $k$번째 푸리에 계수에 대응되는 정수고 $x$ 는 격자점의 위치에 해당하는 값으로써 언제나 알 수 있는 것에 반해 $k$번째 $c_{k}$ 가 시간에 종속된 $c_{k} (t)$ 는 알 수 없다.
쿠라모토-시바신스키 방정식
@동역학
정의
$$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + {\frac{ \partial }{ \partial x }} \left( {\frac{ 1 }{ 2 }} u^{2} \right) + {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{4} u }{ \partial x^{4} }} $$
위의 편미분방정식을 쿠라모토-시바신스키 방정식Kuramoto-Sivashinsky equation이라 한다.
설명
$1$차원 공간에서, 위의 지배 방정식을 따르는 $u = u \left( t ; x \right)$ 는 캐어릭한 양상을 보이는 동역학계를 보인다.
PDE-FIND
@통계적분석
E-SINDy
@통계적분석