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양자역학에서 사다리 연산자란? 📂양자역학

양자역학에서 사다리 연산자란?

정의

임의의 연산자 NN에 대해서 nn을 고유값, ∣n⟩\ket{n}을 nn에 대응되는 고유 함수라고 하자.

N∣n⟩=n∣n⟩ N \ket{n} = n \ket{n}

이때 다음을 만족하는 연산자 AA를 NN에 대응되는 사다리 연산자ladder operator라고 한다.

[N,A]=cA(1) \left[ N, A \right] = cA \tag{1}

여기서 cc는 상수이고, [N,A][N, A]는 교환자이다.

설명

AA가 사다리 연산자라고 불리는 이유는 AA가 ∣n⟩\ket{n}의 고유값을 올리거나 내릴 수 있기 때문이다. AA가 ∣n⟩\ket{n}의 고유값을 올리는 경우에는 상승 연산자raising operator라고 하며, ∣n⟩\ket{n}의 고유값을 내리는 경우에는 하강 연산자lowering operator라고 한다.

c>0c \gt 0인 경우에 대해서 생각해보자. (1)(1)을 풀어보면,

NA−AN=cA  ⟹  NA=AN+cA NA - AN = cA \implies NA = AN + cA

A∣n⟩A\ket{n}이 ∣n⟩\ket{n}보다 cc만큼 큰 고유값을 가지는 NN의 고유 함수라는 것을 보일 수 있다.

N(A∣n⟩)=(AN+cA)∣n⟩=AN∣n⟩+cA∣n⟩=nA∣n⟩+cA∣n⟩=(n+c)A∣n⟩ \begin{align*} N(A\ket{n}) &= (AN + cA)\ket{n} \\ &= AN\ket{n} + cA\ket{n} \\ &= nA\ket{n} + cA\ket{n} \\ &= (n + c)A\ket{n} \end{align*}

즉 A∣n⟩=∣n+c⟩A\ket{n} = \ket{n+c}이다. 이런 경우에 상승 연산자를 흔히 A+A_{+}로 표기한다. 만약 NN이 에르미트 연산자라면, A+A{+}의 수반 연산자는 반대로 ∣n⟩\ket{n}의 고유값을 cc만큼 내리는 하강 연산자이며, 이를 A−=A∗A_{-} = A^{\ast}로 표기한다. NN이 에르미트 연산자이면 cc는 실수이므로,

NA−AN=cA  ⟹  (NA−AN)†=(cA)†  ⟹  A†N−NA†=cA†  ⟹  NA†−A†N=−cA†  ⟹  [N,A†]=−cA† \begin{align*} && NA - AN &= cA \\ \implies && (NA - AN)^{\dagger} &= (cA)^{\dagger} \\ \implies && A^{\dagger}N - NA^{\dagger} &= cA^{\dagger} \\ \implies && NA^{\dagger} - A^{\dagger}N &= -cA^{\dagger} \\ \implies && \left[ N, A^{\dagger} \right] &= -cA^{\dagger} \\ \end{align*}

따라서 A†=A−A^{\dagger} = A_{-}이고 ∣n⟩\ket{n}의 고유값을 cc만큼 내리는 하강 연산자이다.