해밀토니안 연산자
정의
양자역학에서 해밀토니안 연산자Hamiltonian Operator $H$란 다음과 같다.
$$ H = \dfrac{P^{2}}{2m} + V $$
여기서 $P$는 운동량 연산자, $m$은 입자의 질량, $V$는 퍼텐셜이다.
설명
흔히 간단하게 해밀토니안이라고 부른다. 해밀토니안은 고전역학에서 입자의 총 에너지, 즉 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 합 $E = \frac{p^{2}}{2m} + V$에 대응되는 에너지 연산자이다. 정의에 운동량 연산자 $P = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$를 대입하면 구체적으로 다음과 같다.
$$ H = -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V $$
3차원에서는 다음과 같다.
$$ H = -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2} + V $$
해밀토니안의 고유값 방정식이 곧 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이다.
$$ H \psi = E \psi $$
파동함수 $\psi$가 $H$의 고유함수이면, 고유값 $E$는 그 상태의 에너지로 해석된다. 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식 역시 해밀토니안으로 간단히 표현된다.
$$ \i\hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi $$
에너지는 관측 가능한 물리량이므로 해밀토니안은 에르미트 연산자이고, 따라서 그 고유값인 에너지는 항상 실수이다.