물리학에서 기댓값의 표기법
정의
확률변수 $X$의 확률 밀도 함수가 $f(x)$일 때, 다음의 값을 기댓값expectation이라고 한다.
$$ \braket{X} = \braket{x} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \tag{1} $$
설명
보통 통계학에서는 기댓값을 다음과 같이 표기한다.
$$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $$
하지만 물리학에서는 흔히 홑화살괄호를 써서 $(1)$과 같이 표기한다. 이를 디랙 노테이션 혹은 브라켓 노테이션bra-ket notation이라 한다. 이러한 표기법은 내적과 양자역학에서 연산자의 기댓값를 표기하는 방식과 관련이 있다. 분산은 $\sigma^{2} = E( (X - E(X))^{2})$이므로 브라켓 표기법으로는 다음과 같다.
$$ \sigma^{2} = \braket{(X - \braket{X})^{2}} $$