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운동량의 기댓값이 항상 실수임을 증명 📂양자역학

운동량의 기댓값이 항상 실수임을 증명

정리

운동량 연산자의 기댓값 ⟨p⟩\langle p \rangle은 항상 실수이다

설명

사실 운동량 연산자뿐만 아니라 모든 에르미트 연산자의 고유값은 항상 실수이다.

증명

운동량의 기댓값은 아래와 같다.

⟨p⟩=∫ψ∗(ℏi∂∂x)ψdx \displaystyle \langle p \rangle = \int \psi^{\ast} \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi dx

또한 운동량의 기댓값의 복소 켤레는 다음과 같다.⟨p⟩∗=∫ψ(ℏ−i∂∂x)ψ∗dx \displaystyle \langle p \rangle ^{\ast}= \int \psi \left( \frac{\hbar}{-i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi^{\ast} dx두 값을 빼서 0이라면 증명 끝

⟨p⟩−⟨p⟩∗=ℏi∫(ψ∗∂ψ∂x+ψ∂ψ∗∂x)dx=ℏi∫∂∂x(ψ∗ψ)dx=ℏi[ψ∗ψ]−∞+∞=0 \begin{align*} \langle p \rangle -\langle p \rangle ^{\ast} &= \frac{\hbar}{i} \int \left( \psi^{\ast} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x} \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \int \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast} \psi \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \left[ \psi^{\ast}\psi \right] ^{+\infty}_{-\infty} \\ &= 0 \end{align*}

마지막 등호는 파동함수는 ψ(±∞)=0\psi (\pm \infty) = 0을 만족해야하기 때문에 성립한다.

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