운동량의 기댓값이 항상 실수임을 증명
정리
운동량 연산자의 기댓값 $\langle p \rangle$은 항상 실수이다
설명
사실 운동량 연산자뿐만 아니라 모든 에르미트 연산자의 고유값은 항상 실수이다.
증명
운동량의 기댓값은 아래와 같다.
$$ \displaystyle \langle p \rangle = \int \psi^{\ast} \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi dx $$
또한 운동량의 기댓값의 복소 켤레는 다음과 같다.$ \displaystyle \langle p \rangle ^{\ast}= \int \psi \left( \frac{\hbar}{-i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi^{\ast} dx$두 값을 빼서 0이라면 증명 끝
$$ \begin{align*} \langle p \rangle -\langle p \rangle ^{\ast} &= \frac{\hbar}{i} \int \left( \psi^{\ast} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x} \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \int \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast} \psi \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \left[ \psi^{\ast}\psi \right] ^{+\infty}_{-\infty} \\ &= 0 \end{align*} $$
마지막 등호는 파동함수는 $\psi (\pm \infty) = 0$을 만족해야하기 때문에 성립한다.
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