📂양자역학

양자 조화 진동자의 사다리 연산자

정의

두 연산자 $a_{+}$와 $a_{-}$를 다음과 같이 정의하자. 그러면 $a_{\pm}$은 양자 조화 진동자에서 해밀토니안의 사다리 연산자이다.

$$\begin{align*} a_{+} &= \dfrac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(- \i P + m\omega X) \\ a_{-} &= \dfrac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(+ \i P + m\omega X) \end{align*}$$

여기서 $P$는 운동량 연산자, $X$는 위치 연산자, $\hbar$는 플랑크 상수, $m$은 입자의 질량, $\omega$는 각진동수이다.

설명

$a_{\pm}$는 해밀토니안 연산자 $H$의 고유값 $\ket{\psi}$의 상태(고유값)를 $\pm \hbar \omega$만큼 올리는 연산자이다. 즉 다음이 성립한다. $H$의 고유 함수를 $\ket{\psi}$, 이에 대응되는 고유값을 $E$라 할 때,

$$Ha_{\pm} \ket{\psi} = (E \pm \hbar \omega)a_{\pm} \ket{\psi}$$

혹은

$$[H, a_{\pm}] \ket{\psi} = \pm \hbar \omega a_{\pm} \ket{\psi}$$

조화진동자를 대수적으로 풀 때 유용하게 사용된다.

성질

$$H = \hbar\omega\left( a_{\pm}a_{\mp} \pm \dfrac{1}{2} \right) \tag{1}$$

두 사다리 연산자의 교환자는 아래와 같다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} [a_{-}, a_{+}] &= 1 \\ [a_{+}, a_{-}] &= -1 \end{aligned}\tag{2} \end{equation}$$

해밀토니안과의 교환자는 다음과 같다. 즉 $H$의 사다리 연산자이다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} [H, a_{+}] = + \hbar \omega a_{+} \\ [H, a_{-}] = - \hbar \omega a_{-} \end{aligned}\tag{3} \end{equation}$$

증명

$(1)$

양자조화진동자의 해밀토니안은 다음과 같다.

$$H = \dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} + \dfrac{1}{2} m^{2}\omega^{2}X^{2} = \dfrac{1}{2m}P^{2} + \dfrac{1}{2} m^{2}\omega^{2}X^{2}$$

결과는 단순 계산으로 보일 수 있다.

$$\begin{align*} \hbar \omega a_{+}a_{-} &= \dfrac{\hbar \omega}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(- \i P + m\omega X)\dfrac{\hbar \omega}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(+ \i P + m\omega X) \\ &= \dfrac{\hbar \omega}{2\hbar m \omega}(- \i P + m\omega X)(\i P + m\omega X) \\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ (-\i\i)P^{2} + \i m\omega XP - \i m\omega PX + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big]\\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ P^{2} + \i m\omega(XP - PX) + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big]\\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ P^{2} + \i m\omega[X, P] + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big]\\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ P^{2} + \i m\omega \i \hbar + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big]\\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ P^{2} + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big] - \dfrac{\hbar\omega}{2}\\ &= H - \dfrac{\hbar\omega}{2}\\ \end{align*}$$

■

$(2)$

$(1)$에 의해서 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} [a_{-}, a_{+}] &= a_{-}a_{+} - a_{+}a_{-} \\ &\overset{\text{by } (1)}{=} \left( \frac{1}{\hbar\omega} H + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{\hbar\omega} H - \frac{1}{2} \right) \\ &= 1 \end{align*}$$

교환자의 성질 $[A, B] = - [B, A]$에 의해서 다음을 얻는다.

$$[a_{+}, a_{-}] = - [a_{-}, a_{+}] = -1$$

■

$(3)$

교환자의 성질:

$$\begin{align*} [A + B, C] &= [A,C] + [B,C] \tag{3-1} \\ [AB,C] &= A[B,C] + [A,C]B \tag{3-2} \\ [A, A] &= 0 \tag{3-3} \\ \end{align*}$$

사다리 연산자의 정의에 의해 $[H, a_{\pm}] = \pm\hbar\omega a_{\pm}$임을 보이면 된다.

$$\begin{align*} [H,a_{+}] &= \textstyle [\hbar\omega (a_{+}a_{-}+\frac{1}{2}) ,a_{+}] &\text{by (1)} \\ &= \textstyle [\hbar\omega a_{+}a_{-},a_{+}]+[\frac{1}{2}\hbar\omega, a_{+}] &\text{by (3-1)} \\ &= \textstyle \hbar \omega[a_{+}a_{-},a_{+}] \\ &= \hbar \omega(a_{+}[a_{-},a_{+}] + [a_{+},a_{+}]a_{-}) &\text{by (3-2)} \\ &= \hbar \omega a_{+} &\text{by (2) and (3-3)} \\ \end{align*}$$

그리고

$$\begin{align*} [H,a_{-}] &= \textstyle [\hbar\omega (a_{-}a_{+}-\frac{1}{2}) ,a_{-}] &\text{by (1)} \\ &= \textstyle [\hbar\omega a_{-}a_{+},a_{-}]-[\frac{1}{2}\hbar\omega, a_{-}] &\text{by (3-1)} \\ &= \textstyle \hbar \omega[a_{-}a_{+},a_{-}] \\ &= \hbar \omega(a_{-}[a_{+},a_{-}] + [a_{-},a_{-}]a_{+}) &\text{by (3-2)} \\ &= - \hbar \omega a_{-} &\text{by (2) and (3-3)} \\ \end{align*}$$

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